将几何变换与物理约束神经网络（PINNs）结合，通过将微分同胚作为参考域的映射并调整物理约束损失函数的导数计算，我们实现了对复杂几何和低维流形的 PINNs 的应用，从而允许在网络训练中进行直接的形状优化。通过对多个问题的示例验证，特别是在几何变化下，我们展示了该方法相比传统 PINNs 的增强灵活性。该框架为在科学和工程中基于参数化几何体上的偏微分方程（PDEs）进行高级建模铺平了道路。

Nov, 2023

我们提出了几何信息神经算子（GINO），一种高效的方法，用于学习具有不同几何形态的大规模偏微分方程的解算器。该算子基于图和傅里叶结构，使用输入形状的有符号距离函数和点云表示来学习解算器。用于验证 GINO 方法在大规模模拟上的性能，我们生成了 3D 车辆几何形态的工业标准空气动力学数据集，雷诺数高达五百万。在这个大规模 3D 流体模拟中，传统数值方法计算表面压力的成本很高。我们成功地训练 GINO 仅使用五百个数据点来预测车身表面的压力。在成本 - 准确性实验中，与优化后的基于 GPU 的计算流体动力学（CFD）模拟器相比，GINO 的计算阻力系数速度提高了 26000 倍。在测试新的几何形态和边界条件（入口速度）组合时，GINO 相对于深度神经网络方法的误差率降低了四分之一。

Sep, 2023

本研究提出了一种灰色信息驱动的神经网络模型（GINN），使神经网络的输出遵循灰色系统的微分方程模型，提高解释性。此模型结合了灰色系统理论的先验知识，能够有效处理少量数据样本，发现真实世界中的潜在模式并基于经验数据产生可靠的预测。

Mar, 2024

本研究提出了一种可训练的、基于几何感知的图像生成方法，利用几何和分割等场景信息生成逼真自然、符合期望的场景结构的图像，并通过 GIS 框架插入驾驶场景中的车辆、生成来自 Linemod 数据集的物体新视角，展示其能够广泛适用于新颖的场景、物体形状和分割，且可用于合成大量训练数据以训练实例分割模型。

Sep, 2018

通过结合经典数值解法和物理感知框架的方法，本研究在三维非规则几何体上测试了基于图神经网络的解决偏微分方程问题的可行性。

Oct, 2023

本文介绍了一种新颖的方法来检测不连续函数的不连续界面，该方法利用了基于图的神经网络 (GINNs) 和稀疏网格来解决大于 3 维的领域中的不连续检测问题。我们还引入了一种递归算法，用于基于稀疏网格的通用检测器，具有收敛性和易用性。在维数为 2 和 4 的函数上进行的数值实验证明了 GINNs 在检测不连续界面方面的效率和鲁棒泛化性。值得注意的是，训练的 GINNs 具有可移植性和通用性，可集成到各种算法中并在用户之间共享。

Jan, 2024

本文提出了一种基于图嵌入的物理信息神经网络框架（GPINN），使用拓扑空间而非传统的欧几里得空间来执行 PINN，以提高问题解决效率。该框架将拓扑数据集成到神经网络的计算中，显著提高了 PINN 的性能。通过 Fiedler 向量引导选择额外的维度，将额外的维度注入输入空间，以封装图的空间特征，同时保留原空间的属性。此外，本文进行了两个案例研究，证明 GPINN 在与传统 PINN 相比，特别是在捕获解的物理特征方面具有显著的性能优势。

Jun, 2023

文章综述了物理学启发的神经网络（PINN）的文献，并介绍了其特点和优缺点。此外，研究还包括了使用 PINN 以及它的许多其他变体解决 PDE、分数方程、积分微分方程和随机 PDE 的广泛应用领域，以及它们的定制化方法，如不同的激活函数、梯度优化技术、神经网络结构和损失函数结构。虽然该方法被证明在某些情况下比有限元方法更可行，但它仍面临理论问题尚未解决。

Jan, 2022

本文提出了一种面向流形训练深度神经网络的通用框架，利用切空间和指数映射，将最终输出元素在 Riemann 流形上的深度神经网络的训练问题转化为当前深度学习研究的问题，在多类图像分类和人脸图像回归上显示出改进后的性能。

Aug, 2017

本文提出了一种名为 “Implicit Graph Neural Networks（IGNN）” 的图学习框架，其利用 Perron-Frobenius 理论来确保该框架的良好性，并利用隐式微分得到一种可行的投影梯度下降法来训练该框架，实验证明 IGNN 可以稳定捕捉长程依赖并优于现有的 GNN 模型。

Sep, 2020