本研究提出了一种使用人工神经网络解决初始和边界值问题的方法，其中差分方程的试验解被写成两部分的和，第一部分满足边界条件，不包含任何可调参数，第二部分涉及前馈神经网络，包含可调参数（权重）。因此，通过构造满足边界条件的方法，使神经网络训练满足差分方程。本文通过解决各种模型问题并与有限元素进行比较，说明了该方法的适用性范围从单个 ODE 到耦合 ODE 系统，再到 PDE。

May, 1997

本研究介绍了一个新的神经模型：神经控制微分方程模型，解决了利用常规微分方程对时间动态进行建模时无法针对后续观察调整轨迹的问题，并通过实验和理论结果展示其在较多数据集上实现了与其他神经网络模型相当的最佳性能

May, 2020

提出一种新型深度神经网络模型 —— 连续深度模型，其采用了一个神经网络来参数化隐藏状态的导数，并利用黑箱微分方程求解器计算网络输出，使其具有内存成本不变、能够为每个输入自适应地选择评估策略并能显式进行精度 / 速度权衡等特点。研究者进一步证明了通过此模型可以构造出连续正则化流模型，能够通过最大似然进行训练，而不需要对数据维度进行分区或排序，并展示了如何在较大模型内部向任何 ODE 求解器进行可扩展地反向传播，从而实现 ODE 的端到端训练。

Jun, 2018

通过使用内部成本启发式算法，本文开发了两种采样策略来减少函数评估数量并加速预测，与全局正则化相比，我们的方法在普通微分方程和随机微分方程中具有相似的性能而不会影响实施的灵活性。

Mar, 2023

本研究探讨使用神经常微分方程作为一种传播基于简化模型的潜在空间动力学的方法，并与两种传统的非侵入性方法进行比较，发现神经常微分方程提供了一个稳定和准确的演化潜在空间动力学的框架，但为了促进其广泛应用于大型系统，需要加速其训练时间。

Apr, 2021

本研究使用贝叶斯深度学习技术将轻量级机器学习方法应用于神经常微分方程以获得结构化和有意义的不确定性量化，研究了机械知识和不确定性量化在两种神经常微分方程框架下的相互作用 - 辛神经常微分方程和神经常微分方程物理模型的补充，证明了方法在低维 ODE 问题和高维偏微分方程上的有效性。

May, 2023

本文探讨了深度学习神经网络作为最优控制问题的离散化，提出了一类算法来解决离散最优控制问题，并探讨了在时间离散化方面的延伸。

Apr, 2019

通过将连续 LIE 对称性引入神经 ODE 模型，将其与损失函数相结合，本文研究了在连续时间框架中捕捉系统动力学的神经 ODE 模型对称正则化。这种结构属性的引入能显著提高模型的鲁棒性和稳定性。

Nov, 2023

通过实验和理论探讨，研究了神经常微分方程（ODEs）模型的鲁棒性。发现相比传统的卷积神经网络（CNNs），ODE 网络更加稳健，并提出一种新的时间不变稳态神经 ODE 方法（TisODE）来进一步提高鲁棒性。

Oct, 2019

本研究旨在解决学习具有刚性系统的神经普通微分方程（ODE）的挑战，它通常来自化学和生物系统中的化学动力学建模。本文提出了使用深度网络、适当缩放网络输出以及稳定梯度计算等关键技术的方法，成功地演示了解决 Robertson 问题和空气污染问题中的硬化系统。通过使用学习刚性神经 ODE 的工具，可以在能源转换、环境工程以及生命科学等具有广泛时间尺度变化的应用中使用神经 ODE。

Mar, 2021