该研究提出了一种新的基于深度学习的神经 Galerkin 方法，用于数值求解高维偏微分方程。该方法可以自适应地采集新的训练数据，以实现在高维空间中训练深度神经网络，从而成功地模拟了许多变量的系统中的波动和相互作用。

Mar, 2022

通过使用 Neural Galerkin schemes 方法，利用集合较少的粒子动态适应粒子来近似求解偏微分方程的深度神经网络训练过程中的误差，并在具有局部特征和高维空间域的问题中获得了准确的实证误差估计。

Jun, 2023

通过蒙特卡洛采样的深度学习方法，将高维随机控制问题的时间依赖控制近似为前馈神经网络，用作控制问题的目标函数，经测试，该方法可以处理高维度问题并且具有令人满意的准确性。

Nov, 2016

我们提出了一种基于有限维控制的方法来近似解决高维演化型偏微分方程的解算符。通过使用通用的降阶模型，例如深度神经网络，我们将模型参数的演化与相应函数空间中的轨迹连接起来。利用神经常微分方程的计算技术，我们学习参数空间上的控制，从而使受控轨迹与 PDE 的解非常接近。对于一类二阶非线性 PDE，我们验证了近似精确度。对几个高维 PDE，包括解决 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的真实应用，我们展示了所提方法的准确性和效率。

Jan, 2024

提出了一种名为 Deep Galerkin Method（DGM）的算法，它使用深度神经网络来解决高维偏微分方程问题。相较于形成网格，该算法不依赖于网格，而是通过对随机采样的时间和空间点的批量训练来实现。它在一类高维自由边界的偏微分方程、高维哈密顿 - 雅各比 - 贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman）偏微分方程和 Burgers 方程上得到了测试，并且在高维空间中能够准确地近似各种边界条件和物理条件下的 Burgers 方程的一般解。此外，论文还证明了神经网络在一类拟线性抛物型偏微分方程上的逼近能力。

Aug, 2017

本文提出了一种基于非线性随机最优控制理论、应用数学和机器学习的不确定性决策制定新方法。我们开展了一项控制框架的研究，旨在解决机器人和自主决策问题中的不确定性，并提出了一种深度神经网络架构用于随机控制。在仿真非线性系统中，我们研究了所提算法的性能和可扩展性，并讨论了未来的研究方向及其对机器人技术的影响。

Feb, 2019

通过深度学习方法，提出了一种解决高维随机最优控制问题的算法，将问题转化为随机 Stackelberg 差分博弈并应用交叉优化方法，成功解决了投资 - 消费问题的数值实例。

Apr, 2022

通过深度神经网络技术开发和展示了一种基于模拟的计算方法来解决随机控制问题，将其准确性扩展到 $d=30$ 的维度。

Sep, 2023

本文介绍了一种基于控制论、深度学习和统计抽样理论的框架，来研究深度神经网络和神经 ODE 模型，包括 Mean-Field Langevin 动力学的梯度流、时间一致传播的混沌性等问题，并提供了与学习速率、粒子数 / 模型参数和梯度算法迭代次数相关的显式收敛速率和量化一般化误差界限。

Dec, 2019

该研究表明，对于具有强刚性系数的广泛控制随机微分方程，相关零和博弈的价值函数可以由深度人工神经网络来表示，该网络的复杂度在状态方程的维度和所需精度的倒数方面都呈多项式增长。

Mar, 2019