Koopman学习的限制与能力

Jul, 2024

Limits and Powers of Koopman Learning

Matthew J. Colbrook, Igor Mezić, Alexei Stepanenko

TL;DR当我们可以稳健地从动力系统的轨迹数据中学习Koopman算子的谱特性时，以及何时不能是目前当前算法面临困难的一个基本开放问题。通过结合计算分析和遍历论的基础性方法，我们揭示了与系统几何和复杂性有关的第一个基本障碍，这对于分析、应用和设计算法至关重要。此外，我们确定了学习的可能性，并引入了具有验证功能的最优算法，克服了标准方法中的问题。这些结果为基于解决问题需要多少限制的基于数据驱动的动力系统的尖锐分类理论铺平了道路。我们的框架系统地确定了何时以及如何学习Koopman算子的谱特性。

Abstract

dynamical systems provide a comprehensive way to study complex and changing behaviors across various sciences. Many modern systems are too complicated to analyze directly or we do not have access to models, driving significant interest in →

发现论文，激发创造

学习Koopman不变子空间用于动态模态分解

该研究提出了一种基于数据驱动的Koopman谱分析方法，该方法通过最小化线性最小二乘回归的残差平方和来估计一组将数据转换为线性回归适合的形式的函数，并采用神经网络实现并在非线性动力系统及其应用中进行了实证评估。

Oct, 2017

非线性动力学的通用线性嵌入的深度学习

本文利用深度学习，从动态系统的轨迹数据中发现Koopman特征函数的表示，提出了一种改进的自动编码器模型，可以识别非线性坐标，将动力学嵌入到低维流形上，并将Koopman表示推广到具有连续谱的系统。

Dec, 2017

动力系统的现代Koopman理论

介绍了最新的Koopman算子理论及算法发展，重点强调了这些方法在各种应用领域中的作用，同时讨论了机器学习中的重大进展和挑战，这些可能推动未来的发展并显著转变动力系统的理论面貌。

Feb, 2021

多吸引子动力系统的提升和重建

该研究论文阐述了Koopman算子在多吸引子动态系统中的提升机制，并通过Duffing振荡器的例子表明，利用吸引盆之间的固有对称性，仅在Koopman可观测空间中使用三个自由度的线性重构就足以全局线性化系统。

Apr, 2023

PyKoopman：一款用于数据驱动的 Koopman 算子逼近的 Python 包

PyKoopman 是用于数据驱动的动力系统 Koopman 算子近似的 Python 包，提供了基于动态模式分解(DMD)和其变体的无方程动态模态分解的数据驱动系统辨识工具。

Jun, 2023

大规模动力系统中的部分观测、粗粒化和Koopman算子理论中的等变性

通过对大规模系统的部分观测或粗粒化进行分析和数值实验，本文探讨了Koopman算子在非线性动力学中的线性函数空间表示，同时提出了EDMD算法在选取观测的数量时可能存在的问题，并揭示了系统动力学对Koopman算子的对称性，可大幅提高模型的效率，并提供了Kuramoto-Sivashinsky方程数值实例支持。

Jul, 2023

超出预期：用于随机动力系统的剩余动态模态分解和方差

透过引入方差，我们处理了Koopman框架中的一些挑战，从而实现了对随机Koopman算子的谱特性的可验证计算，并引入了方差-伪谱概念来评估统计一致性。最后，我们利用模拟和实验数据展示了其在神经记录中如何揭示对于标准基于期望的动力学模型不可见的重要生理信息。

Aug, 2023

深度学习用于保结构通用稳定的Koopman-Inspired非线性规范哈密顿动力学嵌入

通过深度学习揭示紧凑辛坐标转换和相应的简单动力模型，促进了对非线性规范哈密顿系统的数据驱动学习，即使是具有连续谱的系统。

Aug, 2023

自动微分在数据驱动的动力建模中的预测能力提升：Koopman和神经ODE方法

通过数据驱动的近似方法预测由复杂动力学特征的系统的时间演化是一个有前景的研究方向。本文介绍了一种改进的扩展动态模式分解与字典学习方法，同时确定可观测量的字典及其对应的Koopman算符的近似值，并通过伪逆使用自动微分来促进梯度下降计算。我们通过对比Koopman方法、状态空间方法和纯Koopman方法在不同系统中的性能表现，发现我们的方法显著优于传统方法，并且当Koopman方法在每个时间步骤在状态和可观测量空间之间交替时，与状态空间方法的预测结果相当。

Oct, 2023

学习哈密顿神经库普曼运算符，同时保持和发现守恒定律

基于观测数据和噪声扰动，准确地发现和预测动力学仍然是一项重要的挑战。我们提出了汉密尔顿神经库普曼算子（HNKO），它集成了数学物理知识以学习库普曼算子，并使其可以自动维持并发现守恒定律。我们通过使用许多代表性物理系统，甚至具有数百或数千个自由度的系统，展示了HNKO及其扩展的优越性。我们的结果表明，在学习框架中适当地提供底层系统的先验知识和数学理论可以增强机器学习在解决物理问题上的能力。

Jun, 2024