提出一种基于深度学习的方法，即Deep Ritz Method，用于数值求解变分问题，特别是由偏微分方程引起的问题，该方法自然非线性，自适应且能够在高维度下工作。通过在多个问题上拟合随机梯度下降方法，说明其应用性，包括一些本征值问题。

Sep, 2017

本文利用深度前馈人工神经网络近似求解复杂几何下的偏微分方程，并演示了如何修改反向传播算法来计算网络输出对空间变量的偏导数。此方法基于一种假设解法，只需要前馈神经网络和梯度优化方法，如梯度下降或拟牛顿方法，可以作为网格法无法使用时的有效替代方案。此外，本文还阐述了深度相比于浅度神经网络的优势及其他收敛增强技术的设想。

Nov, 2017

本文提出了一种基于深度学习的方法，可以从散乱的、有可能带有噪声的时空数据中，发现非线性偏微分方程，该方法通过两个深度神经网络来近似未知解和非线性动力学，并测试了其在多个科学领域的效果。

Jan, 2018

深度学习在计算科学和工程领域中的应用取得了显著的成功，本文介绍一种基于物理学的神经网络（PINNs）算法，它可以嵌入偏微分方程到神经网络中，同时提出一种新的基于残差的自适应细化方法（RAR）来提高计算效率，并介绍了一个名为DeepXDE的Python库用于求解正问题和反问题，以及支持基于构造性实体几何技术的复杂几何域和函数的定义和定制化。

Jul, 2019

本研究系统地分析了用作机器学习模型的微分方程的一般性质，并证明了损失函数相对于隐藏状态的梯度可被视为一般化的动量，可以应用经典力学的工具。此外，我们还展示了残差网络和前馈神经网络可以与微小非线性权重矩阵偏差只稍微偏离单位矩阵的微分方程相关。我们提出了一种描述这种网络的微分方程并研究了它的属性。

Sep, 2019

该研究提出了一种新的基于深度学习的神经Galerkin方法，用于数值求解高维偏微分方程。该方法可以自适应地采集新的训练数据，以实现在高维空间中训练深度神经网络，从而成功地模拟了许多变量的系统中的波动和相互作用。

Mar, 2022

本文对深度神经网络用于偏微分方程(PDEs)求解的现状和潜在应用进行了综述，分析和分类了相关方法在科学研究和工程场景中的应用，介绍了这一领域的来源、历史、特点、类型以及未来趋势。

Oct, 2022

通过使用内部成本启发式算法，本文开发了两种采样策略来减少函数评估数量并加速预测，与全局正则化相比，我们的方法在普通微分方程和随机微分方程中具有相似的性能而不会影响实施的灵活性。

Mar, 2023

此研究论文探讨了如何利用深度学习的方法解决高维偏微分方程的问题，并证明了 Deep Galerkin Method 和 Physics Informed Neural Networks 神经网络逼近器的全局收敛性，随着隐藏单元数的增加，这些神经网络收敛于一个无限维线性常微分方程的解。

May, 2023

开发了一种基于物理信息的深度学习框架，用于近似解非线性偏微分方程，可以在不预先了解解的性质或不连续点的位置的情况下发展出震荡或不连续的解。

Jul, 2023