该论文介绍了新型PINNs的理论和实践研究，证明了其在解决偏微分方程方面的有效性和可靠性。

Apr, 2020

本文评估物理启发型神经网络（PINN）解决越来越复杂的耦合常微分方程（ODE）的能力。我们着重研究了一对基准问题：离散化的偏微分方程和谐振子，每个问题都有一个可调参数来控制它的复杂性。通过改变网络架构和应用先进的训练方法，我们表明随着复杂性的增加，即方程组数和时间域的大小，PINN 最终无法正确产生这些基准问题的解。我们确定了这种情况可能出现的几个原因，包括网络容量不足、ODE 的条件较差以及 PINN 损失的 Laplacian 所测定的高局部曲率。

Oct, 2022

本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制PINN残差误差，并在经典PDE和现实应用中进行了实际效果测试。

May, 2023

通过引入高斯噪声进行随机平滑以及根据PDE非线性性提出的偏差校正技术，我们综合分析了Randomized Smoothing PINN的偏差问题，并在有限维度和非线性PDE问题上研究了RS-PINN的性能和效果。结果表明，在高维度问题中，将有偏差的版本与无偏差的版本相结合，可以在偏差和方差之间找到平衡点，以实现更快的收敛和更高的准确性。

Nov, 2023

我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明RPINN是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得PDE解的神经网络逼近。

Jan, 2024

提出了一种结构保持的物理导向神经网络 (PINNs) 方法，通过设计结构保持的损失函数和利用系统的李雅普诺夫结构来提高PINNs的性能，从而改进了PINNs对偏微分方程的数值精度，并提高了模型对图像数据中对抗扰动的鲁棒性。

Jan, 2024

对物理启发机器学习中的物理信息神经网络和相关模型的数值分析结果进行综合评述，并重点阐述了在近似偏微分方程时PINN所产生的误差在各个组成部分的行为，以及与PDE类型和基础域维度相关的逼近、概括和训练误差的可用结果。同时阐明了解的稳定性和解的规则性对误差分析的作用，最后通过数值结果来说明训练误差对物理启发机器学习中各种模型整体性能的不利影响。

Jan, 2024

本研究解决了传统神经网络在求解微分方程时对标签数据需求量大的问题。提出的软约束物理信息神经网络（PINN）方法通过使用物理信息和少量训练数据，实现了对线性和非线性振荡器常微分方程的高效求解。研究表明，PINN能够有效提高求解的准确性和推广能力，即使在数据稀缺的情况下也能获得良好的结果。

Aug, 2024

本研究解决了机器学习中神经网络在非独立同分布数据、分布变化和高维环境下稳定性、一致性和收敛性方面的关键挑战。通过建立神经网络动态学习率在非凸设置下的统一稳定性理论结果，及在非欧几里得空间中针对联邦学习模型的一致性界限，本研究为物理启发神经网络在噪声环境中解决偏微分方程提供了稳定性和收敛性保证。这些成果填补了复杂非理想条件下模型行为理解的重大空白，为更强大可靠的机器学习应用铺平了道路。

Sep, 2024

本文针对机器学习中的关键挑战，特别是在非独立同分布数据、分布变化和高维情况下神经网络的稳定性、一致性和收敛性，提出了新的理论结果。我们建立了动态学习率下非凸设置的均匀稳定性，并为联邦学习模型在非欧几里得空间中的一致性界限提供了理论支持。研究结果填补了复杂非理想条件下模型行为理解的重大空白，推动了更稳健可靠的机器学习应用的发展。

Sep, 2024