通过测试传统PINN方法的表达能力，本论文提出了一种分布式PINN（DPINN），并与原方法进行了对比，试图直接使用物理信息神经网络来解决非线性偏微分方程及二维稳态Navier-Stokes方程。

Jul, 2019

本文回顾了在流体力学问题中使用基于物理学的神经网络（PINNs）的方法，将数据和数学模型无缝集成。该方法可以用于求解涉及三维尾流、超音速流和生物流动等方面的逆向问题。

May, 2021

本文利用物理信息网络解决并识别局部微分方程组，应用此方法成功地解决了雷诺-平均纳维尔-斯托克斯方程，该方程适用于不可压的湍流流动，而且不需要特定的湍流模型或假设，并仅仅需要利用域边界数据来解决方程，研究结果表明该方法可以用于压力梯度强的层流，并且可以得到小于1％的误差，同时对于湍流流动的模拟结果也非常准确。

Jul, 2021

比较了不同优化器对物理知识驱动神经网络（PINNs）精度的影响，并提出了一种新的方法，跟踪训练轨迹曲率以解释为什么某些优化器效果更好。通过研究线性平流方程确定了优化器选择对PINNs模型性能和精度的影响，同时发现收敛误差与优化器本地参考系中的曲率存在负相关。总结认为，在此案例中，较大的本地曲率值会产生更好的解决方案，因此，在高曲率区域中出现极小值会使PINNs的优化变得更加困难。

Mar, 2023

通过提出一系列最佳实践，改进物理信息神经网络（PINNs）的训练效率和整体准确性，还展示了不同架构选择和训练策略如何影响结果模型的测试准确性。

Aug, 2023

通过使用物理信息神经网络（PINN）和隐式欧拉传递学习的方法，本文解决了Burgers方程。该方法使用一系列人工神经网络（ANNs）来寻求一个时间离散解，在每个时间步骤中，上一个ANN将它的知识传递给下一个网络模型，通过最小化基于Burgers方程隐式欧拉逼近的损失函数来学习当前时间的解。与常规的PINN模型相比，该方法具有较小的神经网络结构、类似准确的结果，并且有潜在降低计算成本的优势。

Oct, 2023

本论文探讨了训练物理信息神经网络（PINNs）中的挑战，强调了损失函数在训练过程中的作用，并研究了由残差项中的微分算子引起的病态条件所带来的最小化PINN损失函数的困难。我们比较了梯度下降优化器Adam、L-BFGS以及它们的组合Adam+L-BFGS，并展示了Adam+L-BFGS的优越性，同时引入了一种新的二阶优化器NysNewton-CG（NNCG），它显著提高了PINN的性能。从理论上讲，我们的工作阐明了病态微分算子和PINN损失中的病态条件之间的联系，并展示了结合一阶和二阶优化方法的好处。我们的工作为训练PINNs提供了有价值的洞见和更强大的优化策略，这有助于改善PINNs在解决困难的偏微分方程中的效用。

Feb, 2024

物理启发的神经网络（PINNs）通过将深度学习与基本物理原理相结合，为解决偏微分方程中的正向和反向问题提供了一种有前途的方法。本研究从神经网络架构的角度深入探讨了PINN优化的复杂性，利用神经切向核（NTK），揭示了高斯激活提供了比其他激活函数更有效训练PINNs的优势。在数值线性代数的启示下，我们引入了一种经过预处理的神经网络架构，展示了这种定制架构如何增强优化过程。我们通过对科学文献中已有的偏微分方程进行严格验证，证实了我们的理论发现。

Feb, 2024

本研究针对物理信息神经网络（PINNs）在逆问题上的表现进行了评估，填补了该领域的研究空白。通过对二维巴格斯方程进行参数扫掠，提出了一种新颖的优化策略，结合一、二阶优化，提高了参数估计的精度。研究发现，PINNs在使用少量数据时，能够更有效地发挥物理信息正则化的优势，但在高度理想流动情况下仍然面临挑战，促进了PINN方法的进一步发展。

Aug, 2024

本研究解决了对流扩散方程中单调扰动问题的数值解难题，传统方法难以准确解析边界层。通过引入物理启发的神经网络（PINNs），本文开发了两种新方法，不仅修正了使用有限差分法获得的离散解，还改进了未扰动问题的简化解，显著提高了解决此类问题的精度和稳定性。

Sep, 2024