Jun, 2009

球面梯度映射的 Jacobian 不等式及其在方向统计学中的应用

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TL;DR本文证明了，当底层流形为球面且代价函数为距离的平方时，梯度映射的 Jacobian 行列式对于势函数的凸组合是对数凹的。这里使用了 Kim 和 McCann 以及 Figalli 和 Rifford 最近证明的球的非负横曲率特性，并以统计学为应用定义了一种新的概率密度函数族。
optimal transport theorygradient mapsjacobain determinantlog-concavespherical manifolds
发现论文，激发创造
  • 多个球面积的最优输运映射的规律性

    本研究探讨了代价 (m 矩阵 squared distance) 为方便起见的 Riemann 流形上的最优传输映射的规律性以及对非平面 Riemann 流形的全局规律性结果，其具有一些适用性于统计和统计力学上的重要潜在应用。

    Jun, 2010

  • 球面上最优映射的正则性：二次代价与反射天线

    本文研究了在球面上的两个最优输运问题，证明了成本切面曲率是一致正的，并建立了几何性质，证明了全局平滑解是存在的，最优映射在数据的弱假设下是 Hölder 连续的。

    Jan, 2013

  • 指数凸函数与一种新的信息几何

    本文通过信息几何和最优传输的工具，展示了指数凹面函数的梯度映射提供了 Monge-Kantorovich 最优传输问题的解决方案，并给出了比普通凹函数更好的梯度逼近的逼近误差 L - 离散度。此外，通过拉格朗日积分作用下的位移插值，证明了动作最小化曲线是双重测地线，并表明了熵的重要实际应用，特别是在随机投资组合理论中确定最佳交易频率。

    May, 2016

  • 正定矩阵流形上的圆锥几何优化

    本文开发了在厄米正定矩阵流形上的几何优化方法，特别是考虑了优化两种类型的成本函数：地质凸（g-convex）和对数不扩展（LN）函数，展示了相关理论和锥定点优化算法，并将其应用于椭圆轮廓分布的最大似然参数估计，与流形优化方法相比，我们的算法显著加速。

    Dec, 2013

  • 凸规划中的 Hessian Riemannian 梯度流

    通过带约束的极小化问题，研究以 Legendre 型的凸函数诱导的 Hessian 黎曼度量的梯度流。通过一系列引理得到了 Hessian 黎曼结构与变分不等式具有特定的积分性质的凸集的积分值，给出了 Bregman 类型距离的新动机。接着，引入了一般演变问题，并给出了微分包含的修正。在拟凸条件下，证明了一般存在和全局收敛性，对于凸最小化问题，有一些有趣的细节。讨论了一些这些梯度流的显式例子。鉴定了双轨迹，并考虑了带有正性和等式约束的凸程序的双重收敛的充分条件。建立了一些收敛速率结果。

    Nov, 2018

  • 梯度流与最优输运的讲义

    本文简要阐述了在度量空间中梯度流的最强变分形式及其在概率测度的 Wasserstein 空间中扩散方程的应用，这些笔记是第二作者在 2009 年 6 月 22 日至 26 日的格勒诺布尔夏季学校 “最优输运：理论与应用” 中所作的一系列讲座的基础。

    Sep, 2010

  • 黎曼凸势图

    我们提出并研究了一类使用来自黎曼最优传输的凸势的流，可以对任何紧黎曼流形上的分布进行建模，用于理解物理和地质等非欧几里德数据的分布模拟。

    Jun, 2021

  • 凸势流：具有最优输运和凸优化的通用概率分布

    本文介绍了由 Optimal Transport 理论激发的、参数化反演模型的自然和有效表示 ——Convex Potential Flows (CP-Flow)，提供了一个新的梯度估计器以最大限度地提高模型效果，并证明了 CP-Flows 是通用密度近似器，且在 OT 意义下是最优的。

    Dec, 2020

  • 基于非凸约束的梯度下降：局部下凸性决定收敛

    本文研究了在非凸约束下最小化问题的几何特性与梯度下降的收敛性之间的相互作用，并探讨了这些几何特性在低秩估计问题中优化的作用及其计算方法，从而提出了一种更高效的解决方法。

    Mar, 2017

  • 超出对数凹性：总和对数凹优化的理论与算法

    本文扩展了经典的凸优化理论，以最小化被称为总和对数凹函数的负对数的函数。我们展示了这些函数一般不是凸函数，但仍满足广义凸性不等式，揭示了某个被称为交叉梯度的向量的重要性，该向量一般与通常的梯度不同。因此，我们提出了反方向移动交叉梯度的交叉梯度下降算法，并进行了收敛性分析。作为我们总和对数凹框架的应用，我们引入了所谓的棋盘回归方法，依赖于总和对数凹函数。该分类器扩展了（多类）逻辑回归到非线性可分问题，因为它能够利用任意给定的超平面在特征空间上镶嵌，创建了一个类似棋盘的决策区域模式。

    Sep, 2023