正定矩阵流形上的圆锥几何优化

Dec, 2013

Conic geometric optimisation on the manifold of positive definite matrices

Suvrit Sra, Reshad Hosseini

TL;DR本文开发了在厄米正定矩阵流形上的几何优化方法，特别是考虑了优化两种类型的成本函数：地质凸（g-convex）和对数不扩展（LN）函数，展示了相关理论和锥定点优化算法，并将其应用于椭圆轮廓分布的最大似然参数估计，与流形优化方法相比，我们的算法显著加速。

Abstract

We develop \emph{geometric optimisation} on the manifold of Hermitian positive definite (HPD) matrices. In particular, we consider optimising two types of cost functions: (i) geodesically convex (g-convex); and (ii) log-nonexpansive (LN). G-convex functions are nonconvex in the usual euclidean sense, but convex along the manifold and thus allow global optimi

geometric optimization hermitian positive definite matrices geodesically convex functions log-nonexpansive functions maximum-likelihood parameter estimation

发现论文，激发创造

测地凸优化的一阶方法

该研究提出了一种称为测地凸性的新概念，将向量空间凸性推广到非线性度量空间，并在 Hadamard 流形上开发了迭代复杂度分析，为一些一阶算法提供了全局复杂度上限。研究结果还揭示了流形几何，尤其是分段曲率如何影响收敛速度。这是第一篇为一般 g - 凸优化的一阶算法提供全局复杂度分析的工作。

Feb, 2016

矩阵对数的半正定逼近

本研究介绍基于半定优化算法的矩阵对数的近似方法，并符合操作凹性质，适用于研究涉及矩阵对数和相关函数的凸优化问题，如量子相对熵。

May, 2017

在双矩阵集合上进行流形优化：一个二阶几何方法

本文介绍了使用 Riemannian optimization 方法求解一类具有特定盒式约束的凸优化问题，通过引入三个流形来实现求解，这些流形适用于具有多维概率分布函数的变量，且在高维度中具有优越性能。

Feb, 2018

保证几何惩罚有界的黎曼极小 - 极大优化的加速方法

本文研究的是优化问题，其中函数在乘积 Riemann 流形上是几何上凸的，设计了加速的方法，改进了现有的方法，并在 Riemann 最小 - 最大的情况下证明了全局线性收敛。

May, 2023

球面梯度映射的 Jacobian 不等式及其在方向统计学中的应用

本文证明了，当底层流形为球面且代价函数为距离的平方时，梯度映射的 Jacobian 行列式对于势函数的凸组合是对数凹的。这里使用了 Kim 和 McCann 以及 Figalli 和 Rifford 最近证明的球的非负横曲率特性，并以统计学为应用定义了一种新的概率密度函数族。

Jun, 2009

凸半定规划的混合算法

提出了一种用于最优化正半定矩阵锥上凸光滑函数的混合算法，可以用于解决各种机器学习问题，并且在三个机器学习问题上的实验结果表明，该方法优于现有算法。

Jun, 2012

欧几里得函数优化中的扭曲几何信息

通过在具有截断度量的流形上进行优化，我们得到了函数的最优解，并通过构造适当的回缩映射将途经的递近测地线拉回到流形上，从而有效地沿着近似的测地线进行优化。

Aug, 2023

低秩矩阵优化的非凸几何

本文针对两个广泛使用的最小化问题：凸函数最小化问题和加上核范数的凸函数最小化问题，提出使用低秩分解和替代核范数的方法来加速求解问题，并证明其可以在全局范围内找到最优解。

Nov, 2016

具有正交约束的算法几何学

本文介绍了关于 Grassmann 和 Stiefel 曼陀罗上的一些新的数值线性代数算法，具有优秀的性能表现，并可用于对称特征值问题、非线性特征值问题、电子结构计算和信号处理等领域中出现的约束条件进行建模。

Jun, 1998

指数凸函数与一种新的信息几何

本文通过信息几何和最优传输的工具，展示了指数凹面函数的梯度映射提供了 Monge-Kantorovich 最优传输问题的解决方案，并给出了比普通凹函数更好的梯度逼近的逼近误差 L - 离散度。此外，通过拉格朗日积分作用下的位移插值，证明了动作最小化曲线是双重测地线，并表明了熵的重要实际应用，特别是在随机投资组合理论中确定最佳交易频率。

May, 2016