该论文介绍了一个包含 131 个已知的混沌动力系统的数据库，每个系统都与预计算的多变量和单变量时间序列相匹配，这些系统涵盖了天体物理学，气象学和生物化学等领域，并对每个系统的已知数学属性进行了注释，并通过多种方式使用该数据库进行了实验。

Oct, 2021

本论文通过将 Takens 的延迟嵌入与现代 Koopman 算子理论结合，利用稀疏回归得到强非线性动力学的线性表示，提出了一种混沌系统的普遍数据驱动分解方法，称为 Hankel 交替观点的 Koopman（HAVOK）分析，在应用于 Lorenz 系统、地球磁场漂移、心电图、脑电图和麻疹暴发的真实世界数据时发现，强制力统计是非高斯的，尾部很长，对应于触发间歇性开关和爆发现象的罕见事件，且高度预测性，可以清晰地标记相空间的大一致区域。

Aug, 2016

运用遍历理论引入机器学习的新型训练方式，强制实现系统中的动力学不变量，以提高在有限数据情况下对混沌动力学系统的长期预测能力，用回声状态网络体系结构进行演示，并以 Lorenz1996 混沌动力学系统和光谱拟地转模型为测试案例，取得了丰硕成果。

Apr, 2023

利用局部线性模型和层次聚类的方法，对复杂系统进行分析，将数据划分为多个窗口进行简单的指数衰减和振荡分析，通过收集每个窗口的参数，提取出时间序列的特征，从而可以应用于分析 $C. elegans$ 神经元运动和全脑成像等研究。

Jul, 2018

利用统计物理方法，我们研究了在空间维度和数据量非常大且得分函数经过最优训练的情况下的生成性扩散模型。我们的分析揭示了在向后生成性扩散过程中的三个不同的动力学阶段。生成动力学从纯噪声开始，首先经历了一次 “分化” 转变，其中数据的总体结构得到了揭示，通过类似相变中的对称性破缺机制实现。随后，在后续时间内出现了一次 “坍塌” 转变，其中动力学轨迹开始被吸引到记忆的数据点之一，通过类似玻璃相凝聚的机制实现。对于任何数据集，可以从相关矩阵的谱分析中找到分化时间，并可以通过数据中 “额外熵” 的估计找到坍塌时间。坍塌时间对维度和数据量的依赖性为扩散模型的维度灾难提供了彻底的表征。对于高维高斯混合模型等简单模型的解析解验证了这些结果并提供了理论框架，而对于更复杂的场景的扩展和与真实数据集的数值验证则确认了理论预测。

Feb, 2024

通过三种深度网络算法客观地、基于数据地来推断参数，以此恢复 Lorenz-96 等非线性动力系统的周期行为，从而解决全球气候模型中云和对流等过程的表示问题。

Jun, 2019

深度学习中超参数化神经网络的泛化缺口、分形维度、持续同调维度、模型的双下降等方面进行了广泛的研究评估，通过观察发现，残差参数向量的 L2 范数与泛化缺口之间有更强的相关性。该研究为进一步探索分形几何、拓扑数据分析和神经网络优化之间的因果关系奠定了基础。

Jun, 2024

利用基于扩散的生成模型学习湍流涡度轮廓的分布，生成与训练数据集不同的多样化湍流解，并分析新湍流轮廓的统计缩放特性、能量功率谱、速度概率分布函数和局部能量耗散矩。通过与已建立的湍流特性的一致性，该模型证明了其捕捉实际湍流关键特征的能力。

Nov, 2023

通过从嘈杂和稀疏的可观测数据中识别微分方程，我们开发了一个框架，学习建模复杂动力行为的数学表达式，从而填补了基于经验数据而非已知物理机制的系统的数学模型的空白。

Dec, 2023

本文利用黎曼几何和高维混沌的平均场理论相结合，研究了具有随机权重的通用深度神经网络中信号传播的性质。我们的研究结果揭示了从秩序相到混沌相的表达能力相变，并证明了浅层网络无法高效地计算这种深度随机函数族。此外，我们定量证明了深度网络可以将输入空间中高度曲率的流形分解成隐藏空间中的平坦流形。

Jun, 2016