有限图上的平均曲率、阈值动力学和相场理论

MMJun, 2013

有限图上的平均曲率、阈值动力学和相场理论

Mean curvature, threshold dynamics, and phase field theory on finite graphs

Yves van Gennip, Nestor Guillen, Braxton Osting, Andrea L. Bertozzi

TL;DR介绍了图过程在连续过程的基础上的相关内容，提出了组成图曲率的图割函数以及图 Laplacian 等概念，分析了 MBO 动力学和 AC 演化的情况，并证明了图 MBO 方案会收敛到一个平稳状态。

Abstract

In the continuum, close connections exist between mean curvature flow, the Allen-Cahn (AC) partial differential equation, and the Merriman-Bence-Osher (MBO) threshold dynamics scheme. Graph analogues of these processes have recently seen a rise in popularity as relaxations of NP-comple

graph processes curvature mbo dynamics total variation graph laplacian

发现论文，激发创造

密集图和图极限上的非线性热方程

运用图限理论与非线性演化方程的结论，提供了确定性网络的连续化方法，讨论了在图限序列有收敛的情况下，离散模型解的基本模型与局部描述符的收敛性，并使用这些结论研究了多元图上面的柯兰莫洛方程及 chimera 状态的连续性.

Feb, 2013

对抗训练中出现的平均曲率流

通过将对抗性训练与决策边界的几何演化方程相联系，我们通过将对抗性训练重新解释为一种正则化问题，引入了一种改进的训练方案，构成了一种非局部周长函数的最小化移动方案，证明了当对抗预算消失且周长局部化时，该方案是单调和一致的，并且由此严格证明了该方案近似于加权平均曲率流，强调了对抗性训练的有效性可能是由于局部最小化决策边界的长度。在我们的分析中，我们引入了一系列用于处理极值型非局部总变差及其正则性属性的工具。

Apr, 2024

使用动态 Ollivier-Ricci 曲率展开网络的多尺度结构

本文介绍了一种通过动态的边缘曲率来描述网络几何性质的方法，展示了网络演化中的瓶颈边缘和信息传播过程，利用该方法成功地推导出了多尺度社区结构。

Jan, 2021

数据云上 Ollivier 瑞士曲率的连续极限：逐点连续性和全局下界

研究低维流形上的曲率与由采样点构成的随机几何图的曲率之间的关系，并讨论了该全局离散曲率边界对图上热核的收缩性质和数据云中流形学习的影响。

Jul, 2023

局部最大熵与自由能原理，信念扩散及其奇异性

给出了对三个 Bethe-Kikuchi 变分原理的全面描述，包括它们与信念传播算法在超图上的关系。将信念传播方程的结构推广到定义连续时间扩散，解决最大熵原理 (A)、变分自由能原理 (B) 和一个不太常见的 Legendre 对偶于 A 的平衡自由能原理 (C) 中的局部版本。Bethe-Kikuchi 泛函的临界点和稳态信念都被证明位于两个约束曲面的非线性交点上，分别强制能量守恒和边缘一致性。描述了奇异信念的超曲面，当约束曲面以切线相遇时，平衡变得不稳定，这个超曲面由一阶二进制变量图的多项式方程在一致信念的凸多胞体中表达。

Oct, 2023

图上 $p$-biharmonic 方程的连续极限

该研究探讨了图上的 p - 双调和方程，该方程出现在点云处理中，并可从超图的角度解释为图 p - 拉普拉斯的自然扩展。研究了当考虑随机几何图且数据点数趋于无穷时，解的渐近行为。我们展示了连续极限为具有齐次 Neumann 边界条件的适当加权 p - 双调和方程，这一结果依赖于非局部和图泊松方程的解和梯度的均匀 Lp 估计，同时也得到了解的 L∞估计作为副产物。

Apr, 2024

快速评估 Ollivier-Ricci 曲率下界：理论与计算的桥梁

我们提出了一种使用 Wasserstein 距离的广义 Ricci 曲率（ORC）的简化方法，该方法在计算复杂性上具有线性，特别适用于分析大规模网络，并通过大量模拟和对合成和真实数据集的应用来展示了该方法在评估 ORC 方面的显著改进。

May, 2024

图上粒子系统，第二部分：分布随机连续优化的动力学

研究了具有连续节点的图网中的分布式优化问题，提出了基于随机梯度下降和梯度追踪算法的解决方案，并证明了节点状态的二阶矩一致有界性和收敛性。若本地代价函数强凸，则节点状态收敛至全局代价函数的极小值，并且随机梯度追踪算法的辅助状态均方一致收敛至极小值处的全局代价函数梯度值。

Jul, 2024

均场 Langevin 动力学的凸分析

该研究在连续和离散时间设置下，针对正则化的目标函数给出了关于均值场 Langevin 动力学的简洁、自包含的收敛速率分析。作者证明了命题的关键在于该理论的复合推广的 Gibbs 分布。作者发现该分布与经验风险最小化中的对偶间隙存在关联，这可能使算法收敛的经验评估更加有效。

Jan, 2022

带有局部耦合的定态均场博弈的近端方法

針對具有局部耦合的均勻場博弈問題的數值逼近進行研究，提出了透過變分方法和近端類型方法的有效算法，並使用數值實驗評估了方法的性能。

Aug, 2016