Apr, 2024

图上 $p$-biharmonic 方程的连续极限

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TL;DR该研究探讨了图上的 p - 双调和方程，该方程出现在点云处理中，并可从超图的角度解释为图 p - 拉普拉斯的自然扩展。研究了当考虑随机几何图且数据点数趋于无穷时，解的渐近行为。我们展示了连续极限为具有齐次 Neumann 边界条件的适当加权 p - 双调和方程，这一结果依赖于非局部和图泊松方程的解和梯度的均匀 Lp 估计，同时也得到了解的 L∞估计作为副产物。
p-biharmonic equationgraphshypergraphrandom geometric graphneumann boundary conditions
发现论文，激发创造
  • 密集图和图极限上的非线性热方程

    运用图限理论与非线性演化方程的结论，提供了确定性网络的连续化方法，讨论了在图限序列有收敛的情况下，离散模型解的基本模型与局部描述符的收敛性，并使用这些结论研究了多元图上面的柯兰莫洛方程及 chimera 状态的连续性.

    Feb, 2013

  • 用游戏论 p-Laplacian 和半监督学习处理少标注数据

    研究了图上半监督学习中的博弈论 p-Laplacian，展示了在有限标记数据和无限未标记数据的情况下其是有限的。具体而言，我们展示了带有图上半监督学习的连续 p-Laplace 方程的连续极限是加权版本。我们还证明图 p-Laplace 方程的解近似是 Holder 连续的高概率。

    Nov, 2017

  • 点云数据插值上的超图 p-Laplace 正则化

    探索了超图结构在不包含显式结构信息的点云数据插值中的优势，并证明了超图 $p$-Laplacian 正则化与连续型 $p$-Laplacian 正则化的变分一致性，利用随机原始 - 对偶混合梯度算法解决了凸但不可微的大规模优化问题，并通过数值实验验证了超图 $p$-Laplacian 正则化相对于图 $p$-Laplacian 正则化在防止标记点处出现尖峰的效果更好。

    May, 2024

  • 数据云上 Ollivier 瑞士曲率的连续极限：逐点连续性和全局下界

    研究低维流形上的曲率与由采样点构成的随机几何图的曲率之间的关系，并讨论了该全局离散曲率边界对图上热核的收缩性质和数据云中流形学习的影响。

    Jul, 2023

  • 有限图上的平均曲率、阈值动力学和相场理论

    介绍了图过程在连续过程的基础上的相关内容，提出了组成图曲率的图割函数以及图 Laplacian 等概念，分析了 MBO 动力学和 AC 演化的情况，并证明了图 MBO 方案会收敛到一个平稳状态。

    Jun, 2013

  • 超图 $p$-Laplacian: 微分几何观点

    本文将图 Laplacian 和微分几何的类比推广到超图 setting，进而提出了一种新的超图 $p$-Laplacian 以及一种基于此的半监督学习方法，并进一步探索了与超图 cut 和 normalized cut 的一般形式的关系和区别， 最终在超图的半监督学习和 normalized cut 方面表现出优异的性能。

    Nov, 2017

  • 半监督学习中基于 $\ell_p$ 的拉普拉斯正则化的渐近行为

    以 $L_p$-Laplacian 正则化为基础的半监督学习算法采用 $d$ 维几何随机图模型给出了理论推导，证明了当 $N$ 趋于无穷大而 $n$ 保持不变时， 估计函数的性能，证明了在 $P$ 的敏感度和置信度之间存在权衡，表明选择 $p = d +1$ 是最优的选择。

    Mar, 2016

  • 关于图形的 $p$-Laplacian 的节点域定理和高阶 Cheeger 不等式

    本文研究非线性图上的 $p$-Laplacian 算子的特征值、特征函数与 nodal 区域，证明 $p≥1$ 时 nodal 区域数目的界是紧的，并且当 $p>1$ 时，边界与线性 Laplacian 相同，$p=1$ 时不同，然后用 nodal 区域的性质证明了 $p>1$ 时的高阶 Cheeger 不等式。

    Feb, 2016

  • 图上 1 - 拉普拉斯算子和 Cheeger 常数的谱

    基于 1-Laplacian 的非线性谱图理论中，我们研究了特征值的解决方案结构、特征值的极小极大特征和重复定理等多个方面，并计算了几个基本图的特征值及特征向量，同时研究了特征值的图形特征。特别地，对于连通图，Cheeger 恒量等于第一个非零 1-Laplacian 特征值。

    Dec, 2014

  • 广义图 $p-$Laplacian 的节点区域数

    该研究基于线性 Schrödinger 算子，探讨了离散图上的广义 p-Laplacian 算子，研究了其多个频谱特性和其特征函数的节点区计数，在通用图上证明了 Weyl's 不等式以及新的上下界，并为线性 Schrödinger 算子提供了新的性质。

    Jan, 2022