通过数值工具来获得保持汉密尔顿量的测地线，提出了一个基于模型的连续流形上的距离场和测地线流的参数化方法，以及基于曲率的训练机制，以对测地偏离程度较高的流形区域进行采样和缩放。

May, 2023

研究了深度生成模型所学习的流形的黎曼几何，并提出了计算测地线和沿流形路径平行传递切向量的算法，发现这些模型学习的流形近似于零曲率，并探讨了这种现象的实际影响。

Nov, 2017

本研究展示了在利用双曲空间进行优化时，利用梯度下降的计算方法是直接的，并说明了采用该方法的优点和量化结果。

May, 2018

本文介绍了扩展现有算法，从欧几里得情况到黎曼情况的从等式和不等式约束中考虑代码优化问题，在高维下实现计算效率与准确度的提高，具有重要的实践应用。

Jan, 2019

本文探讨了在概率测度空间 P（X）中，使用最优传输（Wasserstein）几何将被限制为该度量下的测地线段的曲线，以高效地总结该系列测度。我们展示了在最优传输几何中，重要概念可以通过使用 Wasserstein 平均值和微分几何，找到自然的等效物。然而，应用这些想法是具有挑战性的。为了处理数千个测度和实现可扩放的算法，我们建议使用放松的测地线定义和正则化的最优传输距离。本文的方法在将图像视为形状或颜色直方图方面具有重要意义。

Jun, 2015

本文提出了一种基于常曲率伪黎曼流形的表示方法，适用于非欧几里德结构数据的机器学习。该方法的优化方法及应用于图表示的实验结果也被给出。

Jul, 2020

该研究提出了一种称为测地凸性的新概念，将向量空间凸性推广到非线性度量空间，并在 Hadamard 流形上开发了迭代复杂度分析，为一些一阶算法提供了全局复杂度上限。研究结果还揭示了流形几何，尤其是分段曲率如何影响收敛速度。这是第一篇为一般 g - 凸优化的一阶算法提供全局复杂度分析的工作。

Feb, 2016

将 Adam、Adagrad 和 Amsgrad 等流行的自适应随机优化方法扩展到里曼流形上面的困难以及基于里曼流形的优化算法和渐进结果的提出，同时在实验中证明该算法比原算法更快且表现更好。

Oct, 2018

本篇文章提出了新的方法，以解决施加在黎曼流形上的最优化问题，并将欧几里得空间上的一些优化技术推广到黎曼流形上。文章展示了几个算法，并分析了它们的收敛性质，其中包括可以被认为是黎曼流形上的牛顿方法和共轭梯度方法的两种算法，分别表现出二次和超线性收敛性。此外，还给出了一些在某些黎曼流形上的实例以及数字实验的结果。

Jul, 2014

机器学习模型发现的流形提供了底层数据的紧凑表示。这项工作提出了一种基于模型的距离场和流形上的测地线流的参数化方法，利用流形增强 Eikonal 方程的解。我们展示了流形的几何对距离场的影响，并利用测地线流直接获得全局长度最小曲线。这项工作为可微流形上的统计和降阶建模开辟了机会。

Oct, 2023