Mar, 2014

通过 Laplace 平均构建标量型算子的特征函数并与 Koopman 算子相关联

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TL;DR通过对局部凸线性拓扑空间上标量型谱算子的非酉特征空间的投影的 Laplace 平均计算，为 Yosida 的均值遍历定理扩展了适用范围；给出了两类动力学系统及其可观测空间，进而证明了一种（半）全局谱定理适用于足够光滑的动力学系统。
发现论文，激发创造
  • Koopman 算子的谱、泛函空间中的谱展开与状态空间几何学

    该研究在稳定吸引子的线性和非线性动力系统中，运用谱算子理论探究了与 Koopman 算子相关的广义特征函数、中心流形等特性，同时也定义了一些新的概念，如开放特征函数、 调制 Fock 空间等，并提供了如何基于 Koopman 算子的特征函数来定义稳定、不稳定和全局中心流形的一般方法。另外，该研究还关注了一些度量系统的谱特征和一些数据集的同步属性相关的问题。

    Feb, 2017

  • 延迟坐标映射与 Koopman 算子谱

    介绍了一种通过核积分算子获得 Koopman 特征函数的方法，该方法在构建运算核时引入了大量的延迟坐标，使得在无限延迟的极限下，可以在 Koopman 算子的离散谱子空间中创建一个映射，从而在具有纯点谱或混合谱的高维数据系统中有效逼近 Koopman 特征函数。

    Jun, 2017

  • 利用 Koopman 算子的特征函数进行全局稳定性分析

    研究采用新颖的算子理论框架来探讨非线性系统的全局稳定性，通过研究 Koopman 算子特定的本征函数存在性与超孤立点及极限环全局稳定性的关系，并辅助用数值方法推算状态空间吸引子的稳定区域来证明该全局稳定性的结论。

    Aug, 2014

  • Fokker-Planck 算子的扩散映射，谱聚类和特征函数

    该论文提出了一种基于扩散的谱聚类和降维算法的概率解释，利用规范化图拉普拉斯算子的特征向量。通过定义数据点之间的扩散距离，并证明了对应马尔科夫矩阵的前几个特征向量的低维表示在一定均方误差标准下是最佳的。此外，假设数据点是从密度 $p (x)=e^{-U (x)}$ 中随机抽取的，作者将这些特征向量视为具有反射边界条件下潜在 $2U (x)$ 力学势中福克 - 普朗克算子的离散近似的本征函数。最后，应用已知结果，对连续福克 - 普朗克算子的本征值和本征函数进行解析，从而为基于前几个特征向量的谱聚类和降维算法的成功提供了数学论证。这项分析阐明了许多经验发现关于谱聚类算法的特征和扩散进程。

    Jun, 2005

  • 关于频谱域中形状和数据表示的最优性

    本研究提供了 Laplace-Beltrami 算子的本征函数在表征曲面光滑函数方面的最优性证明，并将其应用到应用形状和数据分析领域。该算子可以用于定义曲面上的尺度不变本征空间。此外，研究还包括用于计算几何距离的数值加速技术以及与 LBO 相对应的 PCA 定义。

    Sep, 2014

  • 动力系统的扩散映射、谱聚类和反应坐标

    本文研究数据分析中的低维数据表示问题，提出了一种名为扩散映射的算法，能够将复杂高维数据嵌入低维欧几里得空间，从而实现长时间演化系统的高效识别与聚类分析。

    Mar, 2005

  • 应用库普曼理论

    本文提出了一种关于动力学系统的新框架，基于可观测的动力学图像并引入了 Koopman 算符，以解决高维、不确定的系统难题，并使其扩展和改进为更广泛的应用提供引导。

    Jun, 2012

  • 超图马尔可夫算子、特征值和近似算法

    本文引入了一种新的超图拉普拉斯算子，并研究了其光谱。通过该算子的第二小本征值，证明了超图的扩展性和混合时间，并进一步将这些结果推广到了图的节点扩展。

    Aug, 2014

  • 多吸引子动力系统的提升和重建

    该研究论文阐述了 Koopman 算子在多吸引子动态系统中的提升机制，并通过 Duffing 振荡器的例子表明，利用吸引盆之间的固有对称性，仅在 Koopman 可观测空间中使用三个自由度的线性重构就足以全局线性化系统。

    Apr, 2023

  • 组合拉普拉斯算子在单纯复合体上的谱

    本论文研究了基于单纯复合体的组合结构定义的 Laplace 算子的一般框架，并对其进行了系统地调查，重点研究了规范化 Laplace 算子的谱如何受单纯复合体的并、交和复制等操作影响，同时发现了单纯复合体的一些组合特征被编码在谱中。

    May, 2011