最大化各向同性常数的单纯形多面体必须是一个单纯形

Apr, 2014

最大化各向同性常数的单纯形多面体必须是一个单纯形

A simplicial polytope that maximizes the isotropic constant must be a simplex

Luis Rademacher

TL;DR本文研究了凸体的各向同性常数，证明了在非平滑体中，最大各向同性常数的极大体一定是有对称性的单纯多面体，并探讨了各向同性常数组成的渐近上界问题。

Abstract

The isotropic constant $L_K$ is an affine-invariant measure of the spread of a convex body $K$. For a $d$-dimensional convex body $K$, $L_K$ can be defined by $L_K^{2d} = \det(A(K))/(\mathrm{vol}(K))^2$, where $A(K)$ is the covariance matrix of the uniform distribution on $K$. It is an

isotropic constant convex bodies symmetry simplicial polytopes asymptotic upper bound

发现论文，激发创造

关于随机凸集的各向同性常数

该论文研究了在 R^n 的单位球上均匀分布的 m 个独立随机向量的对称凸包的等距常数，并证明了只要 m≥（1+δ）n，就可以高概率地将其界定为一个常数 $c (δ)$。

Jul, 2007

关于随机凸集的超平面猜想

通过证明标准高斯随机向量的凸包的各向同性常数被一个通用常数所界定，从而验证了高斯随机多面体类的超平面猜想。

Dec, 2006

Eldan 的随机定位和 KLS 猜想：等周性、浓度和混合

我们通过使用鞍点常数和等熵恒量来证明了，具有远离均匀分布的概率分布的 Cheeger 常数在对数凹度量类中的限制为 $ n^{1/4}$，并使用该限制改进了 Poincaré 常数、Lipschitz 浓度常数和球行进算法的性能估计。

Dec, 2016

质心体与对数拉普拉斯变换 - 一种统一的方法

本文在多维凸体的等向性常数上提出了改进和统一的想法，得到了与体的 psi-2 常数成线性关系的结论，并提出了 Lp - 质心体积的一些新界限和 Bourgain 超平面猜想的另一种等价表述。方法是 Paouris 的 Lp - 质心体技术和第一篇名字作者的对数拉普拉斯变换技术的结合。

Mar, 2011

关于高阶各向同性条件和稀疏二次型下界

该研究旨在为经验兼容性常数或经验受限特征值的下限做出贡献。研究表明，得到的经验兼容性常数收敛于其理论对应物，并获得了更低的下限。

May, 2014

KLS 猜想中等周系数的近似常数下界

证明 KLS 猜想中等渗系数的下界基本保持不变，具有维度依赖性为 d^{-o_d (1)}, 并且优于先前依赖维度的最佳下界，有多种应用包括改进 Bourgain 的切片猜想和薄壳猜想的最佳下界，对于对数凹测度的 Lipschitz 函数具有更好的集中不等式，以及对于基于对数凹测度的 MCMC 采样算法具有更好的混合时间界限。

Nov, 2020

高斯多胞体的中心极限定理

在 d 维空间中，从标准正态分布中选择 n 个独立的随机点，得到凸包 K_n，称为高斯随机多面体。我们证明，K_n 的体积和面数满足中心极限定理，解决了该领域一个著名的猜想。

Oct, 2006

关于具有相关性的随机向量的 Hanson-Wright 不等式的注记

证明具有凸集中性质常数 K 的等向随机向量 X 中的二次型满足 Hanson-Wright 不等式，对于高斯向量的均匀版可以用于恢复 Koltchinskii 和 Lounici 关于 B 值高斯变量协方差运算符的经验估计的最近浓度不等式。

Sep, 2014

随机定位 + 斯提尔切斯障壁 = 对 Log-Sobolev 紧致界

证明对于任何支撑直径为 D 的 n 维吸收对称对数凹密度的对数 Sobolev 常数都是 1/D, 并基于此推导出一系列相关结论，如任何吸收对称对数凹密度上的球步行的混合时间，以及涉及中位数 / 平均值的大偏差不等式。

Dec, 2017

稳定各向异性正则化

本文提出一种新的正则化方法 I-STAR，该方法可以在训练过程中增加或减少嵌入空间中的等向性水平，并发现在大多数任务和模型中减少等向性可以改善性能。

May, 2023