利用物理学基础知识作为先验知识，通过将物理学基础知识注入到神经网络结构中，从轨迹数据中学习动力学模型，并在模型的训练过程中通过增广拉格朗日法强制实施物理学知识约束，实验证明该做法比不包括先验知识的基线方法在相同的训练数据集上能够将系统动力学预测准确率提升两个数量级。

Sep, 2021

本文介绍了一个基于约束的机器学习模拟框架，使用图神经网络实现约束函数，并通过求解优化问题计算未来预测，可应用于多种具有挑战性的物理领域，提供了传统模拟和数值方法的归纳偏差。

Dec, 2021

通过使用 Mixture-of-Experts (MoE)，我们开发了一种可扩展的方法来强制执行硬物理约束，以增强神经 PDE 求解器在预测挑战性非线性系统动力学方面的准确性，并改善训练稳定性以及在训练和推断阶段所需的计算时间。

Feb, 2024

本研究介绍了一种将非线性分析约束条件通过网络架构或损失函数施加在神经网络上的方法，应用于气候建模中的混合过程，可以确保精度且不影响性能，同时也减少与约束条件相关的输出错误。

Sep, 2019

通过将系统嵌入笛卡尔坐标并使用拉格朗日乘子显式地强制执行约束，本文证明了相较于使用广义坐标来编码系统约束的方法，使用笛卡尔坐标可以在准确度和数据效率方面提高 100 倍。

Oct, 2020

本文提出了基于 3D-PhysNet 框架的物理建模方法，可以对三维物体在外力作用下的变形进行快速预测，并具有材料属性的泛化性，并且通过深度变分自编码器结合敌对训练的方式进行了材料属性的编码，以及通过级联结构对部分视图下的物体变形进行预测。

Apr, 2018

本研究提出了一种新的神经网络监督方法，它通过指定输出空间上应该保持的约束条件来监督神经网络。这些约束条件是从先前的领域知识中派生出来的，并能够在真实世界和计算机仿真视觉任务中有效地训练卷积神经网络，减少了对已标注的训练数据的需求，但对正确编码先前的知识引入了新的挑战。

Sep, 2016

最近开发的降阶建模技术旨在从数据中学习的低维流形上近似非线性动力系统。我们介绍了一种由约束的自动编码器神经网络描述的参数化非线性投影类，其中流形和投影纤维都是从数据中学习得到的。此外，我们还提出了一些新的动力学感知成本函数，以促进学习考虑快速动力学和非正常性的斜投影纤维。为了展示这些方法及其解决的特定挑战，我们提供了一个关于涡街现象的三状态模型的详细案例研究。同时，我们还提出了几种基于我们提出的非线性投影框架构建计算高效的降阶模型的技术。这包括一种用于避免计算 Grassmann 流形上有害的权重矩阵收缩的新型稀疏促进惩罚项的编码器。

Jul, 2023

我们介绍了一种用于训练动力学系统的保守型物理信息神经网络和深度算子网络的方法，该方法利用基于投影的技术将通过神经网络求解器学习到的候选解映射到不变流形上。我们证明了在数学科学的几个实际问题中，相比于非保守型方法，精确保守型的物理信息神经网络求解器和深度算子网络在性能上有巨大的优势。

Nov, 2023

通过引入不同保真度的数据和多个解码器，基于低保真度数据在统一潜变量空间评估物理约束，通过 MSPCNN 方法在训练高度相关的预测模型时实现了训练效率和准确性的权衡。

Feb, 2024