本文通过引入自然定义的随机游走的多边际最优输运问题，为超图引入了曲率的新定义，这种曲率被称为粗标量曲率，它是 Ollivier（2009）在度量空间上 Markov 链的 Ricci 曲率的最近定义的一般化，并且在超图是从 Riemannian 流形自然产生的情况下与标量曲率相关。通过实验结果表明，粗标量曲率能够检测超图中跨连接组件的 “桥梁”，因此它是一个适当的简单图曲率的概括。

Mar, 2018

本文提出了有向超图的 Ricci 曲率定义，并探讨了这个定义的后果，它推广了图的 Ollivier 定义，并涉及到一个精心设计的顶点集之间的最优输运问题。

Jul, 2019

通过将几何和拓扑学结合起来，曲率是一种功能强大且表达力强的不变量。我们开发了 ORCHID，这是一种灵活的框架，可以将 Ollivier-Ricci 曲率推广到超图，并证明结果曲率具有有利的理论特性，在不同领域的合成和实际超图上进行了广泛实验，证明 ORCHID 曲率不仅可扩展性强，而且有用于执行各种超图任务。

Oct, 2022

我们提出了一种使用 Wasserstein 距离的广义 Ricci 曲率（ORC）的简化方法，该方法在计算复杂性上具有线性，特别适用于分析大规模网络，并通过大量模拟和对合成和真实数据集的应用来展示了该方法在评估 ORC 方面的显著改进。

May, 2024

本文从图的三角形存在性和相对频率这一基本重要属性出发，研究了三角形存在性与广义 Ricci 曲率在马尔可夫过程和度量空间中的应用，并探索了在图中以此推导出的曲率下界和曲率维数不等式。

Mar, 2011

定义了一个带有非负 N-Ricci 曲率（其中 N 为有限整数）或无穷小于 K 的 Ricci 曲率下界（其中 K 为实数）的测量长度空间 X 的概念，其定义依赖于与概率测度的 Wasserstein 空间 P_2（X）上的某些函数的位移凸性。我们证明了这些性质在测量 Gromov-Hausdorff 极限下保持不变，并给出了几何和分析方面的结果。

Dec, 2004

该研究定义了度量空间中 Markov 链的 Ricci 曲率，并将其与概率空间的 Wasserstein 运输距离联系起来，证明正 Ricci 曲率意味着具有谱间隔、Gaussian 集中定理和某种修改后的对数 Sobolev 不等式。

Jan, 2007

本文利用 Ollivier 和 Lin 的离散 Ricci 曲率分析了互联网的曲率，发现 Ricci 曲率的分布广泛，表明网络拓扑结构是不均匀的，与节点度和聚类系数等本地量和介数中心性和网络连通性等全局量以及地理距离等辅助属性具有有趣的联系，这些观察结果丰富了复杂网络理论中的几何结构。

Jan, 2015

本研究对图或网络的两种离散 Ricci 曲率形式，即 Forman-Ricci 曲率和 Ollivier-Ricci 曲率进行了实证比较分析。在更广泛的模型和实际网络中进行了广泛的计算分析，表明了两种离散曲率在许多网络中高度相关，具有相似的结构和行为特性。此外，通过引入转化 Forman-Ricci 曲率，研究显示，两种曲率之间的相关性更高，特别是在真实网络中，可以利用 Forman-Ricci 曲率来替代 Ollivier-Ricci 曲率进行更快速的计算和分析。

Dec, 2017

本文定义了一种新的运输度量，该度量插值了二次 Wasserstein 和 Fisher-Rao 度量，并将优化运输推广到具有不同质量的度量，通过在连续性方程中引入源项来定义该度量。

Jun, 2015