该研究详细调查了基于 PINNs 的外推行为，并提供了证据，通过分析解函数的傅里叶谱，表征了产生有利外推行为的 PDE，并展示了一种基于转移学习的策略，可将 PINNs 的外推误差降低高达 82％。

Jun, 2023

基于进化计算方法提出一种解决偏微分方程的人工神经网络模型，具有更高的逼近精度和更快的收敛速度。

May, 2024

本文研究了物理知识对神经网络的影响，尤其是对物理意义的学习。研究发现，使用以前的方法，神经网络会容易受到微妙的问题的困扰。为了解决这个问题，我们提出了课程规范化和序列到序列学习两种新的方法。通过使用这两种方法，我们可以取得比以前更好的结果。

Sep, 2021

该论文提出了使用集成的物理信息神经网络 (PINN) 来解决解偏微分方程 (PDEs) 的问题，通过逐步扩展解决方案间隔以及结合 PINN 模型集中观察点的解决方案的一致性来稳定 PINN 的培训，并使结果明显优于目前存在的时间自适应策略的 PINN 算法。

Apr, 2022

通过对区域内一组残差函数的评估，物理信息神经网络 (PINNs) 提供了通过目标函数的最小化来获取偏微分方程和系统的近似解的方法。本文考虑了选择这些点的几种策略，并研究了它们对方法整体精度的影响，指出没有单一的 “最优” 方法，但我们展示了在使用固定数量的残差评估时，一些重要指标如何提高结果质量。通过使用两个基准测试问题：Burgers' 方程和 Allen-Cahn 方程，我们详细说明了这些方法。

Apr, 2024

本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制 PINN 残差误差，并在经典 PDE 和现实应用中进行了实际效果测试。

May, 2023

本研究提出了一种名为 latentPINN 的框架，通过将偏微分方程（PDE）参数的潜在表示作为额外的输入进行 PINN 模型的训练，使用两个阶段的训练来学习 PDE 参数的潜在表示，并通过在解决区域内随机生成空间坐标和 PDE 参数值的样本进行物理感知神经网络的训练，试验结果表明该方法在不需要任何额外训练的情况下可以很好地适用于不同的 PDE 参数。

May, 2023

本研究分析了使用梯度下降算法在 PINN 中产生的复杂度和粗糙性，并证明使用神经进化算法作为 PINN 的替代方法可能更好。基准问题和基线结果表明，使用 JAX 实现神经进化可获得比标准实现快几个数量级的收敛速率。

Dec, 2022

我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明 RPINN 是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得 PDE 解的神经网络逼近。

Jan, 2024

该研究论文介绍了物理知识驱动的神经网络在求解偏微分方程中的应用，并提出了一种新的区域优化训练范式，通过在连续邻域区域进行模型优化，有效降低了模型的泛化误差，尤其对于高阶约束的偏微分方程。该新范式产生了一种实用的训练算法 RoPINN，通过简单且有效的 Monte Carlo 抽样方法在信任区域内平衡了抽样效率和泛化误差。实验证明，RoPINN 显著提升了各种 PINNs 在多种偏微分方程上的性能，而无需额外的反向传播或梯度计算。

May, 2024