Apr, 2024

研究用于自适应原位采样的引导信息在 PINNs 中的应用

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TL;DR通过对区域内一组残差函数的评估，物理信息神经网络 (PINNs) 提供了通过目标函数的最小化来获取偏微分方程和系统的近似解的方法。本文考虑了选择这些点的几种策略，并研究了它们对方法整体精度的影响，指出没有单一的 “最优” 方法，但我们展示了在使用固定数量的残差评估时，一些重要指标如何提高结果质量。通过使用两个基准测试问题：Burgers' 方程和 Allen-Cahn 方程，我们详细说明了这些方法。
physics-informed neural networkspartial differential equationscollocation pointsoptimizationaccuracy
发现论文，激发创造
  • PINNACLE: PINN 自适应网格划分和实验点选择

    使用数据聚集和选择优化技术，Physics-Informed Neural Networks (PINNs) 与 Neural Tangent Kernel (NTK) 相结合的 PINN Adaptive ColLocation and Experimental points selection (PINNACLE) 算法实现了对训练点类型的联合优化，以在前向、反向和迁移学习问题上提供更好的性能。

    Apr, 2024

  • 关于物理信息神经网络在线性二阶椭圆型和抛物型偏微分方程中的收敛性

    该论文介绍了新型 PINNs 的理论和实践研究，证明了其在解决偏微分方程方面的有效性和可靠性。

    Apr, 2020

  • 可证明正确的物理信息神经网络

    本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制 PINN 残差误差，并在经典 PDE 和现实应用中进行了实际效果测试。

    May, 2023

  • 鲁棒的物理信息神经网络

    我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明 RPINN 是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得 PDE 解的神经网络逼近。

    Jan, 2024

  • 基于物理信息的神经网络及其在物理信息机器学习中的相关模型的数值分析

    对物理启发机器学习中的物理信息神经网络和相关模型的数值分析结果进行综合评述，并重点阐述了在近似偏微分方程时 PINN 所产生的误差在各个组成部分的行为，以及与 PDE 类型和基础域维度相关的逼近、概括和训练误差的可用结果。同时阐明了解的稳定性和解的规则性对误差分析的作用，最后通过数值结果来说明训练误差对物理启发机器学习中各种模型整体性能的不利影响。

    Jan, 2024

  • 通过物理知识指导的神经网络科学机器学习：现状和未来展望

    文章综述了物理学启发的神经网络（PINN）的文献，并介绍了其特点和优缺点。此外，研究还包括了使用 PINN 以及它的许多其他变体解决 PDE、分数方程、积分微分方程和随机 PDE 的广泛应用领域，以及它们的定制化方法，如不同的激活函数、梯度优化技术、神经网络结构和损失函数结构。虽然该方法被证明在某些情况下比有限元方法更可行，但它仍面临理论问题尚未解决。

    Jan, 2022

  • 物理信息神经网络中的最佳时间采样

    本文研究了物理信息神经网络在科学计算应用中解决方程时的残差最小化问题，通过标准假设下的神经网络收敛性，证明了最优时间采样符合截断指数分布，并给出了在线性方程、Burgers' 方程和 Lorenz 系统中最佳时间采样的解释和数值实例。

    Apr, 2024

  • 理解使用 PINNs 解决 Cauchy 问题的困难性

    在本文中，我们针对 Cauchy 问题的情况，确定了使用 L2 残差作为目标函数和神经网络的逼近差异两个问题，指出最小化 L2 残差和初始条件误差的总和不足以保证真实解，并且神经网络无法捕捉解中的奇异性，这影响了全局极小值的存在和网络的正则性。我们通过数值实验支持了我们的理论观点。

    May, 2024

  • RoPINN: 区域优化的物理信息神经网络

    该研究论文介绍了物理知识驱动的神经网络在求解偏微分方程中的应用，并提出了一种新的区域优化训练范式，通过在连续邻域区域进行模型优化，有效降低了模型的泛化误差，尤其对于高阶约束的偏微分方程。该新范式产生了一种实用的训练算法 RoPINN，通过简单且有效的 Monte Carlo 抽样方法在信任区域内平衡了抽样效率和泛化误差。实验证明，RoPINN 显著提升了各种 PINNs 在多种偏微分方程上的性能，而无需额外的反向传播或梯度计算。

    May, 2024

  • PPINN: 时变偏微分方程的 Parareal 物理信息神经网络

    该研究介绍了一种名为 PPINN 的新型神经网络结构，可在短时间内解决时间依赖性偏微分方程问题，通过将一个长时间问题分解成许多由粗粒度求解器监督的独立短时间问题，PPINN 可以在几个迭代中实现收敛并获得显著加速。

    Sep, 2019