将几何变换与物理约束神经网络（PINNs）结合，通过将微分同胚作为参考域的映射并调整物理约束损失函数的导数计算，我们实现了对复杂几何和低维流形的 PINNs 的应用，从而允许在网络训练中进行直接的形状优化。通过对多个问题的示例验证，特别是在几何变化下，我们展示了该方法相比传统 PINNs 的增强灵活性。该框架为在科学和工程中基于参数化几何体上的偏微分方程（PDEs）进行高级建模铺平了道路。

Nov, 2023

本文提出一种基于物理约束神经网络（hPINNs）的新的深度学习方法用于解决基于偏微分方程（PDEs）和附加不等式的拓扑优化，该方法拥有硬约束，可在不需要偏微分方程求解器的情况下处理大量维度较高的问题。使用 hPINN 解决全息术和 Stokes 流动问题时，相较于基于伴随方法和数值 PDE 解算器的传统 PDE 约束优化方法，它们通常更简单、更平滑。

Feb, 2021

本文介绍如何应用物理信息神经网络（PINNs）求解光子超材料和纳米光学技术中的逆散射问题，并成功应用于多组分纳米粒子等多种散射系统的介电常数参数反演，从而拓展超材料的设计空间和功能。

Dec, 2019

机器学习与拓扑优化的整合引起了广泛关注，物理信息神经网络（PINN）可以在解决前向问题时避免产生大量数据，并提供更好的推断。因此，提出了一种动态配置的基于 PINN 的拓扑优化方法（DCPINN-TO），该方法通过动态配置可训练参数并使用活跃采样策略，实现对位插值点的选择性采样。经过多个验证例子和多载荷、多约束问题的考察，验证了 DCPINN-TO 方法的可行性，同时与基于有限元分析的拓扑优化方法（FEA-TO）相比，位移预测准确性和优化结果的准确性表明 DCPINN-TO 方法具备高效性和有效性。

Dec, 2023

物理启发的神经网络（PINNs）通过将深度学习与基本物理原理相结合，为解决偏微分方程中的正向和反向问题提供了一种有前途的方法。本研究从神经网络架构的角度深入探讨了 PINN 优化的复杂性，利用神经切向核（NTK），揭示了高斯激活提供了比其他激活函数更有效训练 PINNs 的优势。在数值线性代数的启示下，我们引入了一种经过预处理的神经网络架构，展示了这种定制架构如何增强优化过程。我们通过对科学文献中已有的偏微分方程进行严格验证，证实了我们的理论发现。

Feb, 2024

提出了一种基于多任务优化范式的物理信息神经网络（PINNs）训练框架，通过解决多个辅助任务来提升主任务的性能，应用于交通密度预测问题的训练中，实验结果表明相比传统方式，该框架显著提高了 PINN 的性能。

Jul, 2023

本文提出一种基于物理信息神经网络（PINN）的地震波反演框架，以求解半无限域的介质分布问题。通过设计轻量网络学习未知介质分布和深度神经网络近似求解变量来验证该方法的有效性。

May, 2023

本研究介绍了一种新型离散 PINN 框架，基于图卷积网络和 PDE 的变分结构，能够在前向和反向设置中严格施加边界条件和吸收稀疏数据，适用于处理不规则几何形状和非结构化网格等应用领域。

Jul, 2021

通过基于物理学知识的神经网络（PINNs）方法对二维声波方程进行求解和全波形反演（FWI）问题进行研究，证明其在处理不同结构复杂度的情况下表现出良好的结果，不仅适用于地震学领域，而且可以处理其他地球物理学数据集以及联合反演等问题，拓展了地球物理学反演研究的新途径。

Aug, 2021

通过结合经典数值解法和物理感知框架的方法，本研究在三维非规则几何体上测试了基于图神经网络的解决偏微分方程问题的可行性。

Oct, 2023