对称正定矩阵流形上的回归实现多可靠度协方差估计

Jul, 2023

对称正定矩阵流形上的回归实现多可靠度协方差估计

Multifidelity Covariance Estimation via Regression on the Manifold of Symmetric Positive Definite Matrices

Aimee Maurais, Terrence Alsup, Benjamin Peherstorfer, Youssef Marzouk

TL;DR我们介绍了一种作为对对称正定矩阵流形上的回归问题的解的协方差矩阵的多保真度估计器。该估计器由于构造方式是正定的，通过最小化得到它的马哈拉诺比斯距离具有可实用的计算性质。我们证明了我们的流形回归多保真度 (MRMF) 协方差估计器是在特定误差模型下的最大似然估计器。更广泛地，我们证明了我们的黎曼回归框架包含了从控制变量构造的现有多保真度协方差估计器。通过数值实例，我们证明了我们的估计器可以相对于单保真度和其他多保真度协方差估计器显著减少，可达一个数量级的平方估计误差。同时，保持正定性确保了我们的估计器与下游任务的兼容性，如数据同化和度量学习，其中这个属性是必要的。

Abstract

We introduce a multifidelity estimator of covariance matrices formulated as the solution to a regression problem on the manifold of symmet

multifidelity estimator covariance matrices regression problem positive definite manifold regression multifidelity

发现论文，激发创造

多维函数数据的低秩协方差函数估计

本文提出了一种新颖的在再生核希尔伯特空间（RKHS）框架下处理稀疏和稠密函数数据的非参数协方差函数估计方法，该方法可以灵活地对协方差算子和边际结构进行建模，并且可以保证生成的估计量自动具有半正定特性，并且可以融入各种光谱正则化。 Trace- norm 正则化可以促进协方差算子和边际结构的低秩，并且虽然缺乏闭合形式，但在温和的假设下，提出的估计量可以实现统一的理论结果，其收敛速度揭示了从稀疏到密集的函数数据的相变现象。基于新的代表定理，开发了 ADMM 算法来实现 Trace- norm 正则化。通过模拟研究和来自 Argo 项目的数据集分析，展示了所提出估计器的优异数值表现。

Aug, 2020

黎曼流形回归的共形推断

这项研究通过在流形上进行回归、流形统计学等探究，提出了一种在响应变量位于流形、协变量位于欧几里得空间情况下的回归预测方法，该方法基于非参数的分布自由概念，通过证明流形上经验预测区域与总体预测区域近似几乎必然收敛来展示其高效性。通过综合模拟研究和实际数据分析进行了验证。

Oct, 2023

从流形到流形：用于 SPD 矩阵的几何感知降维

使用正定对称 (SPD) 矩阵表示图像和视频，并考虑到所得空间的里曼尼几何，已被证明在许多识别任务中有益。本文引入了一种方法来构建一个更具判别力的低维 SPD 流形以处理高维 SPD 矩阵，并将学习表述为 Grassmann 流形上的优化问题。实验表明，与现有技术相比，我们的方法可使分类准确性显著提高。

Jul, 2014

固定秩正半定矩阵的回归：一种黎曼方法

本文主要研究关于使用梯度下降算法在一组定秩半正定矩阵的几何结构下建立回归模型，并且将该算法用于距离函数参数学习问题中，达到了不错的效果。

Jun, 2010

随机矩阵理论改进的对称正定矩阵的弗雷歇均值

使用随机矩阵理论的方法估计协方差矩阵中的 Fréchet 均值，在处理低样本支持和大量需要平均的矩阵时表现优于现有方法。

May, 2024

对称正定矩阵黎曼流形上的核方法

该文提出了一种针对 Riemann 流形的 SPD 矩阵进行高维映射的方法，使用一组可证明的正定核函数来扩展基于核方法的算法，进而在人行检测、物体分类、纹理分析、2D 运动分割以及扩散张量成像分割等问题上取得了良好的效果。

Dec, 2014

固定秩矩阵分解与黎曼低秩优化

采用 Riemannian 余维度流形上的优化几何方法及其梯度下降和信任区域算法，对学习大型固定秩非对称矩阵的线性回归模型进行了研究，推广了固定秩对称正定矩阵的一般结果，可用于机器学习算法的设计，数值实验表明，与现有算法竞争并提供了一种有效且灵活的算法，用于学习固定秩矩阵。