ICLRAug, 2023

使用正向和反向模式自动微分将偏微分方程引入到 JAX

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TL;DR使用有限元方法扩展了 JAX 自动微分库，通过 Firedrake 有限元库实现对偏微分方程的符号化表示，从而有效地将有限元解算器与任意可微程序进行组合。
发现论文，激发创造
  • 解决偏微分方程的快速分辨率无关的神经技术

    本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

    Jan, 2023

  • 借助 PyTorch 和 Firedrake 实现物理驱动的机器学习模型

    通过在 PyTorch 和 PDE 系统 Firedrake 之间实现简单而有效的耦合，可以为研究人员、工程师和专家提供一种高效的方式来规定耦合模型，而只需要对现有代码进行微不足道的更改。

    Mar, 2023

  • 偏微分方程与深度神经网络的结合：综述

    本文对深度神经网络用于偏微分方程 (PDEs) 求解的现状和潜在应用进行了综述，分析和分类了相关方法在科学研究和工程场景中的应用，介绍了这一领域的来源、历史、特点、类型以及未来趋势。

    Oct, 2022

  • Firedrake：通过组合抽象自动化有限元方法

    Firedrake 是一个新的工具，用于自动化解决偏微分方程的数值解。它采用 FEniCS 项目的有限元方法领域特定语言，但使用纯 Python 运行时，聚焦于科学计算的几个现有和新的抽象层次，从而实现了更完整的关注点分离，并容易将计算机科学家、数字分析家和应用专家的独立贡献与之结合。

    Jan, 2015

  • 基于数据的复杂数据集中偏微分方程发现

    本文介绍了使用深度学习发现复杂数据集中隐藏的偏微分方程 (包括线性和非线性方程)。通过使用测量数据进行必要的输入数据转换来实现发现过程中的坐标转换。同时，展示了用于选择特征和模型的技巧。通过本文的分析，可以发现非线性二阶偏微分方程的动力学可以由我们的深度学习算法自动准确地描述为普通微分方程。在研究更复杂的模拟时，也可以得到类似的结果。

    Aug, 2018

  • 高维完全非线性偏微分方程和二阶反向随机微分方程的机器学习逼近算法

    本文介绍一种新的用于解决高维金融模型中的非线性偏微分方程的方法，该方法包含非线性现象、深度神经网络和随机梯度下降类型优化过程，并通过海量数据的数值结果证明了该方法的高效性和精确性。

    Sep, 2017

  • 神经算子的合成数据生成

    我们提出了一种新方法来生成合成的函数训练数据，该方法不需要数值地解决偏微分方程问题，从而能够快速高效地生成大量这样的数据点。

    Jan, 2024

  • 基于伴随法的基于数据驱动的 PDEs 发现

    本研究提出一种基于伴随方法的优化问题，用于从数据中发现潜在的偏微分方程，通过考虑参数化的偏微分方程形式，并最小化 PDE 解与数据之间的误差来计算 PDE 参数的梯度。该方法通过变分计算获取了保正参数的演化方程，可以精确地还原真实的 PDE，尽管在存在噪声的情况下，方法精确度与 PDE-FIND 方法相当。

    Jan, 2024

  • 偏微分方程简介

    本书介绍了传统和现代方法来处理一阶和二阶偏微分方程，并包含利用向量场的李代数和其代数几何表示来解决 PDE 的过定解问题以及获得随机微分方程的积分表示的内容。适用于所有使用 PDE 处理数学方法的科学家。

    Apr, 2010

  • 高水平瞬变有限元程序的伴随自动导出

    本文提出了新的技术，通过高层次的符号表示法实现了有限元模型的离散伴随和正切线性模型的推导，相比于标准的算法区分技术，该方法更加高效和自动化，适用于一类大规模和复杂的前向模型，并在各种科学应用中证明了其普遍性和适用性。

    Apr, 2012