Jan, 2015

Firedrake：通过组合抽象自动化有限元方法

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TL;DRFiredrake 是一个新的工具，用于自动化解决偏微分方程的数值解。它采用 FEniCS 项目的有限元方法领域特定语言，但使用纯 Python 运行时，聚焦于科学计算的几个现有和新的抽象层次，从而实现了更完整的关注点分离，并容易将计算机科学家、数字分析家和应用专家的独立贡献与之结合。
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发现论文，激发创造
  • 使用正向和反向模式自动微分将偏微分方程引入到 JAX

    使用有限元方法扩展了 JAX 自动微分库，通过 Firedrake 有限元库实现对偏微分方程的符号化表示，从而有效地将有限元解算器与任意可微程序进行组合。

    Aug, 2023

  • 借助 PyTorch 和 Firedrake 实现物理驱动的机器学习模型

    通过在 PyTorch 和 PDE 系统 Firedrake 之间实现简单而有效的耦合，可以为研究人员、工程师和专家提供一种高效的方式来规定耦合模型，而只需要对现有代码进行微不足道的更改。

    Mar, 2023

  • 基于有限元的物理知情的算子学习框架用于任意域的时空偏微分方程

    我们提出了一种新颖的基于有限元的物理信息算子学习框架，用于预测由偏微分方程（PDEs）控制的时空动态。该框架利用了受有限元方法（FEM）和隐式欧拉时间积分方案启发的损失函数。通过考虑瞬态导热传导问题进行性能测试，该算子学习框架将当前时间步的温度场作为输入，预测下一个时间步的温度场。实施物理学约束的热传导方程 Galerkin 离散弱形式被用作损失函数，称为有限算子学习（FOL）。经过训练，网络成功预测了任意初始温度场的时间演化，与有限元方法解决方案相比具有较高的准确性。该框架也适用于具有异质热导率和任意几何形状的情况。FOL 的优势可以概括为：首先，训练是以无监督的方式进行的，避免了需要准备大量昂贵模拟或实验数据集的需求。相反，使用由高斯随机过程和傅里叶级数生成的随机温度模式结合恒温场作为训练数据，以覆盖可能的温度情况。其次，利用形状函数和向后差分逼近进行域的离散化，得到一个纯代数方程。这提高了训练效率，同时避免了在优化权重和偏差时耗时的自动微分过程，虽然可能会导致离散化误差。最后，由于有限元方法的插值能力，FOL 能处理任意几何形状，这对于解决各种工程应用场景至关重要。

    May, 2024

  • 高水平瞬变有限元程序的伴随自动导出

    本文提出了新的技术，通过高层次的符号表示法实现了有限元模型的离散伴随和正切线性模型的推导，相比于标准的算法区分技术，该方法更加高效和自动化，适用于一类大规模和复杂的前向模型，并在各种科学应用中证明了其普遍性和适用性。

    Apr, 2012

  • 统一形式语言：一个用于求解偏微分方程弱式的领域特定语言

    介绍了一个用于表示偏微分方程弱形式的领域特定语言 Unified Form Language（UFL），支持变分形式和泛函，以及自动微分和任意功能空间等特性，并介绍了该语言及其构造，以及一些应用实例和支持 UFL 的库。

    Nov, 2012

  • 解决偏微分方程的快速分辨率无关的神经技术

    本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

    Jan, 2023

  • 物理信息操作学习与有限元法的参数学习偏微分方程的融合

    利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。

    Jan, 2024

  • 有限元算子网络求解参数型偏微分方程

    使用有限元算子网络 (FEONet) 提出了一种解决参数化偏微分方程的新方法，它结合了深度学习和传统的数值方法，在缺乏配对的输入输出训练数据的情况下解决参数化偏微分方程，成功地解决了多个基准问题，表现出更高的精确度、泛化能力和计算灵活性，对于模拟具有不同边界条件和奇异行为的复杂领域，展示了潜在的应用前景，此外，还提供了有限元逼近在数值分析中支持我们方法的理论收敛性分析。

    Aug, 2023

  • MFEM：一款模块化有限元方法库

    MFEM 是一款开源的、轻量级的、灵活而可扩展的 C++ 库，提供高阶有限元法网格、离散化和线性求解器算法等。

    Nov, 2019

  • 利用机器学习库在结构化网格上解决离散多相流方程并捕获界面

    利用 AI4PDEs 方法解决多相流动方程与界面捕捉问题，通过神经网络求解数值离散化的偏微分方程，对多相流动进行建模，并在实验数据和文献结果上取得良好的比较，展示了 AI4PDEs 方法在有限元离散化的多相流动求解上的优势。

    Jan, 2024