本文介绍了一种基于图神经网络和暗示层理论的物理信息的新型混合边界条件下解决泊松方程问题的方法，通过使用‘物理信息’的损失函数对该方法进行训练，证明了其一致性，并在实验中证明了其灵活性和广泛适用性。

Feb, 2023

本文提出了一种基于机器学习的新方法来解决带有混合边界条件的 Poisson 问题。利用图神经网络，我们开发了一个能够处理非结构化网格并能够通过设计来强制执行边界条件的模型。通过直接最小化 Poisson 方程的残差，该模型试图学习问题的物理本质，而不需要精确解决方案，与大多数以前的数据驱动过程不同，在这些过程中，与可用解的距离被最小化。

Nov, 2022

本文研究了使用深度学习技术解决 Poisson 方程的可行性，研究表明使用深度卷积神经网络的正确性较高，并结合应用了 L2 正则化方法，可以缩短传统有限差分求解器的 CPU 时间。

Dec, 2017

本文研究用概率方法和神经网络逼近求解 Poisson 方程，并提出基于球面游走算法轻微改变的蒙特卡洛数值近似方法，其维数无需指定且具有高效性和多项式复杂度。同时，本文证明使用该数值近似方法得出的随机深度神经网络可在多项式时间内对 Poisson 方程进行有效逼近。

Sep, 2022

本研究使用图神经网络和频谱图卷积设计了两种不同的时间独立偏微分方程的解算符，并使用多种形状和不均匀性的有限元素求解器的模拟数据对网络进行训练，结果发现训练不同的数据集在所有情况下都是实现良好的技术并获得广泛应用的关键。

Jun, 2022

通过将偏微分方程转化为边界积分方程，我们提出了一种新颖的物理信息神经算子方法，可在没有标记数据的情况下解决参数化边界值问题，并且能够处理无界问题。

Aug, 2023

本文提出了一种新型的混合反向问题复合框架，将深度神经网络的高表现力与现有偏微分方程数值算法相结合，通过语义自编码器的自定义层，将计算数学、机器学习和模式识别技术融合在一起，实现了域特定知识和物理约束的综合应用，解决了大量数据中的未知字段这个问题，称之为混合反向 PDE 网络 (BiPDE 网络)，并在一维和二维空间中的泊松问题中，以及一维的时间依赖和非线性 Burgers 方程中，应用和证明了其可行性和噪声鲁棒性。

Jan, 2020

提出了一种基于 MIONet 的混合迭代方法，它结合了传统的数值迭代求解器和最新的神经算子强大机器学习方法，并进一步系统地分析了其理论性能，包括收敛条件、频散行为以及收敛速度，以离散化误差和模型推断的错误为参考，在常用的平滑器（即 Richardson（阻尼 Jacobi）和 Gauss-Seidel）的理论结果中进行了展示。我们给出了混合方法的收敛速度上界，该上界指示了实现混合迭代最快收敛的最佳模型修正周期。通过对 1 维（2 维）泊松方程的混合 Richardson（Gauss-Seidel）迭代的多个数值例子进行验证，证实了我们的理论结果，并且反映出卓越的加速效果。作为一种无网格加速方法，它具有巨大的实际应用潜力。

Feb, 2024

本研究采用基于深度学习的 CNN-transformer 网络模型结合权重多项损失函数和迭代求解器，开发出一种量化和定性准确且具有泛化能力的 Poisson 解算器，可在复杂几何形状的低温等离子体系统的数值模拟中提高计算速度和精度。

Jun, 2023

使用图神经网络作为通用预处理器，通过适当生成的训练数据更好地近似矩阵的逆，从而在解决病态问题方面表现出吸引人的性能，以及在构建时间和执行时间方面的优势，具有潜力解决来自偏微分方程、经济学、统计学、图形和优化等多个领域的大规模挑战性代数问题。

Jun, 2024