我们介绍了一种用于具有混合边界条件的 Poisson 方程的神经预处理迭代求解器。我们的求解器的核心是一个神经网络，用于逼近具有任意形状和混合边界条件的离散结构网格 Laplace 算子的逆运算。我们通过在不可压缩流体模拟中产生的具有挑战性的测试案例上展示，我们的方法优于最先进的求解器如代数多重网格和一些最近的神经预处理器。

Sep, 2023

本文提出了一种基于机器学习的新方法来解决带有混合边界条件的 Poisson 问题。利用图神经网络，我们开发了一个能够处理非结构化网格并能够通过设计来强制执行边界条件的模型。通过直接最小化 Poisson 方程的残差，该模型试图学习问题的物理本质，而不需要精确解决方案，与大多数以前的数据驱动过程不同，在这些过程中，与可用解的距离被最小化。

Nov, 2022

本研究使用图神经网络和频谱图卷积设计了两种不同的时间独立偏微分方程的解算符，并使用多种形状和不均匀性的有限元素求解器的模拟数据对网络进行训练，结果发现训练不同的数据集在所有情况下都是实现良好的技术并获得广泛应用的关键。

Jun, 2022

本研究介绍了一种新型离散 PINN 框架，基于图卷积网络和 PDE 的变分结构，能够在前向和反向设置中严格施加边界条件和吸收稀疏数据，适用于处理不规则几何形状和非结构化网格等应用领域。

Jul, 2021

本文提出了一种新型的混合反向问题复合框架，将深度神经网络的高表现力与现有偏微分方程数值算法相结合，通过语义自编码器的自定义层，将计算数学、机器学习和模式识别技术融合在一起，实现了域特定知识和物理约束的综合应用，解决了大量数据中的未知字段这个问题，称之为混合反向 PDE 网络 (BiPDE 网络)，并在一维和二维空间中的泊松问题中，以及一维的时间依赖和非线性 Burgers 方程中，应用和证明了其可行性和噪声鲁棒性。

Jan, 2020

通过构建多级图神经网络框架，解决基于深度学习的物理系统模拟和偏微分方程求解中数据格式与神经网络所需结构不匹配所带来的挑战，提出一种对于 GNN 和多分辨率矩阵核分解统一的方法，该方法可以处理所有范围的相互作用并具有线性复杂度。实验证明，这种多图网络可以学习离散化不变的 PDE 解算符并可以在线性时间内进行评估。

Jun, 2020

通过结合经典数值解法和物理感知框架的方法，本研究在三维非规则几何体上测试了基于图神经网络的解决偏微分方程问题的可行性。

Oct, 2023

通过应用图神经网络和消息传递模型，我们提出了一种有效的 PDE 求解方法，通过参数化控制方程，学习领域不变特征，构建线性 / 非线性 PDE 的准确求解器。

Apr, 2022

本文利用隐式神经表示法 (INR) 对偏微分方程进行建模，通过增强基于坐标的体系结构与图神经网络 (GNN) 的联合使用，能够进行零 - shot 泛化到新的不均匀网格和长期预测，同时维持物理一致性，MAgNet 推广到不同的网格和分辨率上，能够匹敌现有的基线，并在各种 PDE 仿真数据集上进行了比较准确的预测。

Oct, 2022

本研究提出了一种基于 Galerkin 方法和分段多项式节点基础函数的物理驱动 GraphSAGE 方法（PD-GraphSAGE），用于解决由不规则 PDEs 控制的计算问题并开发参数化 PDE 代理模型。该方法采用物理域的图表示，从而减少了由于局部细化而对评估点的需求。通过几个案例验证了该方法的优点。此外，我们成功建立了由高斯随机场源参数化的热传导问题的稳健 PDE 代理模型，该模型不仅提供了准确的解决方案，而且在我们的实验中比有限元法快数倍。

Mar, 2024