本文提出了一种基于测度理论的深度神经网络学习连续时间 Koopman 算子的方法，使用结构参数化来保证稳定性，并构建了一个自动编码器架构以学习动态模态分解的残差部分，并在基于贝叶斯方法的平均场变分推断下评估了该框架。

Jun, 2019

本文提出了使用神经网络逼近 Koopman 算子的方法来学习非线性动态系统的低维逼近，并且讨论了与这种方法相关的数据表示问题和过拟合问题，提出了一种结合自编码器和线性递归动力学的新型神经网络架构来学习 Koopman 不变子空间。同时，还提出了在特征空间下过度规定的 EDMD 系统的均衡模型缩减方法和使用多核回归算法来提高低维状态下数据重构的精度，最后通过案例研究验证了这些技术的有效性。

Dec, 2017

Koopman 表征旨在学习非线性动力系统（NLDS）的特征，这些特征导致潜在空间中的线性动力学。在这项工作中，我们研究了这个问题的自编码器公式，并研究了它们在建模未来状态的不同方式，特别是在长时间跨度上的预测。我们发现在潜在空间中预测未来状态存在一些限制，并提出了一个称为周期性重新编码的推理机制，用于准确捕捉长期动力学。我们通过在低维和高维 NLDS 中进行的实验，在理论和实证上都证明了这种方法的有效性。

Oct, 2023

本文利用深度学习，从动态系统的轨迹数据中发现 Koopman 特征函数的表示，提出了一种改进的自动编码器模型，可以识别非线性坐标，将动力学嵌入到低维流形上，并将 Koopman 表示推广到具有连续谱的系统。

Dec, 2017

准确的长期预测是许多机器学习应用和决策过程的基础，然而，由于传统的时间模型（如循环神经网络）仅捕捉训练数据中的统计连接，很难建立准确的长期预测模型。为了解决这个挑战，我们基于库普曼算子理论提出了一种新的机器学习模型，称为库普曼可逆自编码器（KIA），通过在无限维度的希尔伯特空间中建模正向和反向动力学来捕捉系统的固有特性，从而能够高效学习低维表示，实现对长期系统行为的更准确预测，并且我们方法的可逆设计确保了正向和逆向操作的可逆性和一致性。我们在摆和气候数据集上验证了 KIA 的实用性，在保持抗噪性的同时，摆的长期预测能力提高了 300%，此外，我们的方法在长期气候预测方面表现出色，进一步验证了我们方法的有效性。

Sep, 2023

提出了一种新颖的一致性 Koopman 自编码器模型，结合前向和后向动态，通过探索一致性动态与其关联的 Koopman 算子之间的相互作用来处理非线性动态系统，取得了在预测中的准确估计，同时对噪声具有鲁棒性。

Mar, 2020

这篇论文描述了使用 Koopman 算子及其特征函数进行非线性系统的控制的方法，并提出了基于数据驱动的降阶方法，证明了验证确定的特征函数的重要性并且说明了其在控制中的作用。

Jul, 2017

通过引入时间一致的 Koopman 自编码器（tcKAE），本文解决了模型训练数据有限和含噪声时 KAE 方法效果不佳的问题，并在简单摆动、动力学等多个测试案例中实证了 tcKAE 模型相较于现有模型的优越性能。

Mar, 2024

本研究提出了 Koopmanizing Flows 方法，它是一种新的连续时间框架，用于监督学习一类非线性动力学的线性预测器，可有效地解决寻找有意义的有限维表示以进行预测的问题，并在 LASA 手写字体基准测试中展示出卓越的功效。

Dec, 2021

本文介绍了一种基于数据的方法，用于近似 Koopman 算子的主要特征，其不需要显式的控制方程或与 “黑匣子” 积分器的交互，并演示了该方法的可行性及其潜在应用示例。

Aug, 2014