本文利用深度学习，从动态系统的轨迹数据中发现 Koopman 特征函数的表示，提出了一种改进的自动编码器模型，可以识别非线性坐标，将动力学嵌入到低维流形上，并将 Koopman 表示推广到具有连续谱的系统。

Dec, 2017

准确的长期预测是许多机器学习应用和决策过程的基础，然而，由于传统的时间模型（如循环神经网络）仅捕捉训练数据中的统计连接，很难建立准确的长期预测模型。为了解决这个挑战，我们基于库普曼算子理论提出了一种新的机器学习模型，称为库普曼可逆自编码器（KIA），通过在无限维度的希尔伯特空间中建模正向和反向动力学来捕捉系统的固有特性，从而能够高效学习低维表示，实现对长期系统行为的更准确预测，并且我们方法的可逆设计确保了正向和逆向操作的可逆性和一致性。我们在摆和气候数据集上验证了 KIA 的实用性，在保持抗噪性的同时，摆的长期预测能力提高了 300%，此外，我们的方法在长期气候预测方面表现出色，进一步验证了我们方法的有效性。

Sep, 2023

本文提出了使用神经网络逼近 Koopman 算子的方法来学习非线性动态系统的低维逼近，并且讨论了与这种方法相关的数据表示问题和过拟合问题，提出了一种结合自编码器和线性递归动力学的新型神经网络架构来学习 Koopman 不变子空间。同时，还提出了在特征空间下过度规定的 EDMD 系统的均衡模型缩减方法和使用多核回归算法来提高低维状态下数据重构的精度，最后通过案例研究验证了这些技术的有效性。

Dec, 2017

提出了一种新颖的一致性 Koopman 自编码器模型，结合前向和后向动态，通过探索一致性动态与其关联的 Koopman 算子之间的相互作用来处理非线性动态系统，取得了在预测中的准确估计，同时对噪声具有鲁棒性。

Mar, 2020

本文提出了一种基于测度理论的深度神经网络学习连续时间 Koopman 算子的方法，使用结构参数化来保证稳定性，并构建了一个自动编码器架构以学习动态模态分解的残差部分，并在基于贝叶斯方法的平均场变分推断下评估了该框架。

Jun, 2019

本文提出一种基于数据驱动的方法，利用 Koopman 嵌入将原始状态空间提升到更高的线性流形，从而学习非线性系统的稳定模型，并证明了该方法在离散时间下能够学习所有非线性收缩模型，在保证模型稳定性的同时允许对 Koopman 嵌入和算子进行无约束的优化，同时通过直接参数化稳定线性系统来极大地简化计算。我们还在模拟系统上验证了该方法，并分析了与替代方案相比的优势。

Oct, 2021

本研究提出了 Koopmanizing Flows 方法，它是一种新的连续时间框架，用于监督学习一类非线性动力学的线性预测器，可有效地解决寻找有意义的有限维表示以进行预测的问题，并在 LASA 手写字体基准测试中展示出卓越的功效。

Dec, 2021

本文提出了使用图神经网络对对象进行编码，使用分块的线性转移矩阵来规范化对象之间的共享结构，从而学习组合型 Koopman 操作符，以实现非定常系统的建模与控制。我们的实验结果表明，与现有的基线相比，所提出的方法具有更好的效率和泛化能力。

Oct, 2019

应用 Koopman 算子理论和深度强化学习网络，提出了一种数据驱动的线性估计器，用于提取复杂非线性系统的有限维表示，实现对原始非线性系统未来状态的精确预测。该估计器还可以适应非线性系统的微分同胚变换，从而实现对变换后系统状态的估计，无需重新学习。

May, 2024

这篇文章提出了一种基于深度学习的方法来学习非线性动力学系统的 Koopman 算子，自动选择高效的深度字典来描述这些系统，并成功预测了未来 100 步的量化预测和 400 步的定性振荡行为。

Aug, 2017