Jan, 2024

使用深度学习提升 Groebner 基础求解器的在线稳定性

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TL;DR经过过去十年的发展，Gröbner 基础理论和自动生成求解器已经产生了大量解决几何视觉问题的解决方案。此论文首先展示了不同的变量或单项式排列可以导致不同的消除模板，从而在问题的某个实例中可能导致较大的准确性变化。然后证明了原始系数集中包含足够的信息来训练用于在线选择好的求解器的分类器，尤其只需很小的计算开销。通过通用的密集多项式问题求解器以及具体的几何视觉求解器，我们展示了其广泛适用性。
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发现论文，激发创造
  • 超越 Gröbner 基础：最小求解器的基础选择

    该研究论文提出了一种基于动作矩阵方法和单项式基础选择的多项式求解器，可用于计算机视觉应用中的几何估计，特别是运行在 RANSAC 框架下时更为强大。

    Mar, 2018

  • 学习计算格罗布纳基

    通过训练转化器实现了首次 Gröbner 基的计算，该训练需要多个多项式系统和相关 Gröbner 基的配对，从而引发了两个新的代数问题：Gröbner 基的随机生成和将其转化为非 Gröbner 多项式系统，称为 “反向 Gröbner 问题”。我们通过零维根理想解决了这些问题，并且实验证明，在五元情况下，所提出的数据集生成方法比朴素方法快了五个数量级，克服了在学习计算 Gröbner 基中的重要挑战。

    Nov, 2023

  • 梯度提升近似消失理想

    本文提出了使用梯度的全数值方法来构建近似消失理想的基础算法，以解决现有算法需要使用不方便的单项式顺序或指数级昂贵的计算的问题，并实现了输入平移和缩放的一致输出，实现了非平凡冗余基础的删除。此外，该文针对此前的算法未能解决的问题，实现了数值完整的基础构建方法。

    Nov, 2019

  • 用于 Laurent 多项式方程组的自动求解器生成器

    该论文提出了一种新的算法，用于检查给定的 Laurent 多项式是否足以构建消元模板，并基于此算法提出了一种自动生成 Laurent 多项式方程组求解器的方法，该发生器适用于具有正维度组件的理想，适用于几何计算视觉等多个领域，且速度快且数字精度高。

    Jul, 2023

  • 一种基于稀疏结果的高效极小求解器方法

    本文提出了一种基于稀疏 resultant 方法的奇异值问题转化方法，可以显著提高计算机视觉问题中多项式方程组求解方法的效率和稳定性。实验证明，该方法准确性与 Gröbner 基求解器相当，有些问题甚至可以得到更小和更稳定的求解器。

    Dec, 2019

  • 高效极小解算器的巧妙排除策略

    该研究提出了一种新的最小解算器系统性生成方法，通过消除不出现在线性方程的未知数并通过升级实现线性化对完全非线性问题问题的求解，我们成功地提出了三个部分标定相机相对姿态计算问题的更有效解决方案，同时还发现了部分标定相机的基础矩阵的新约束关系。

    Mar, 2017

  • 计算 Gröbner 基的算法

    本文描述了一种有效的逆算法，用于构造多项式理想的格罗布纳基础，该算法基于逆元分裂的概念，可以在计算固定的逆基础后输出一组降低的格罗布纳基础，这种算法比 Buchberger 算法具有更高的实验优越性。

    Jan, 2005

  • 最小化多项式函数

    比较多元多项式函数全局优化算法，证明了使用具有半定规划的平方和松弛技术比代数方法更有效，并为实数代数几何中的广泛计算问题提供了可能性。

    Mar, 2001

  • 基于鲁棒的随机微分方程变分公式的深度学习求解线性偏微分方程

    该研究探讨了利用 Monte Carlo 方法和深度学习解决高维偏微分方程（PDE）的有效算法，并提供了一些新方法，这些方法在利用梯度优化方法最小化相应损失时具有低差异性，并提高了所提到的现有深度学习方法的性能。

    Jun, 2022

  • 增强式人工智能迭代求解器用于加速大规模参数化系统的解决方案

    该论文基于最新的机器学习工具，提供了一种定制的迭代求解器，结合代数多重网格方法和 proper orthogonal decomposition（POD-2G），能够在任意所需精度下，求解大规模参数化问题中的线性方程系统。

    Jul, 2022