利用物理学基础知识作为先验知识，通过将物理学基础知识注入到神经网络结构中，从轨迹数据中学习动力学模型，并在模型的训练过程中通过增广拉格朗日法强制实施物理学知识约束，实验证明该做法比不包括先验知识的基线方法在相同的训练数据集上能够将系统动力学预测准确率提升两个数量级。

Sep, 2021

通过引入基于物理的规则，将 PINNs 模型用于流体动力学的代理模型，证明了其在数据缺失，边界条件不明确以及复杂的工程系统逆向问题等方面的效果。并介绍了该建模方法的其他优点，包括提高模型的预测性能，提高对数据噪声的稳健性，并减少对于先前未见场景的优化收敛所需的时间。

May, 2021

提出了利用物理知识来升级神经网络模型以解决优化问题的方法，通过使用修正线性单元和分段线性逼近的双曲正切激活函数，针对三个不同的案例进行实验，结果表明这种升级模型比传统模型更接近于全局最优解，且更有效地优化了 CPU 时间。

Feb, 2023

本文介绍物理学知情神经网络，它们被训练来解决监督式学习任务，同时遵守由概括非线性偏微分方程组的任何物理法则。

Nov, 2017

本文提出了一种新颖的基于物理信息的神经网络框架，用于解决时间依赖偏微分方程，利用离散余弦变换对空间频率进行编码，再利用循环神经网络处理时间演化，从而实现对问题的时空动态的潜在表达，提高了物理相关模型的效率和灵活性，并在 Navier-Stokes 方程的 Taylor-Green 涡旋解上实现了最先进的性能。

Feb, 2022

本文提出了一种基于物理学信息神经网络（PINN）的方法来解决在没有标注数据的情况下建模弹性动力学问题的挑战，进一步解决了复杂的 I/BCs 在弱正则化 PINN 框架下无法很好满足的问题，在多个数值弹性例子中展示了该方法的可行性。

Jun, 2020

该论文探讨了如何将物理先验知识加入数据驱动模型，提高模型的质量和稳定性，并以 Lyapunov 分析为视角，通过研究液体流动预测的典型问题，验证了保持 Lyapunov 稳定性的模型可以提高泛化性能并减少预测不确定性。

May, 2019

通过物理信息利用 Rao-Blackwellization 的概念来改善人工神经网络的预测，提出的策略应用于材料建模，并通过识别屈服函数、弹塑性钢模拟、脆性破坏驱动力识别和橡胶实验的示例进行了说明。通过使用足够的物理信息，例如不变量、最小化问题的参数、尺度分析、各向同性和可微性，证明了直观增加信息如何在物理上具有足够的改善作用，但不充分或多余的信息如何导致损害。还探讨了通过训练数据集、网络结构和输出过滤器改善人工神经网络的机会。通过减少噪声、过拟合和数据要求，即使是粗糙的初步预测也可以显著提高。

Nov, 2023

我们提出了一种基于神经网络的元学习方法，用于高效解决偏微分方程（PDE）问题。该方法通过元学习来解决各种各样的 PDE 问题，并将这些知识用于解决新的 PDE 问题。我们使用神经网络将 PDE 问题编码成问题表示，其中，控制方程由偏导数的多项式函数的系数表示，边界条件由一组点条件对表示。我们将问题表示作为神经网络的输入来预测解决方案，通过神经网络的前向过程，我们能够高效地预测特定问题的解决方案，而无需更新模型参数。为了训练我们的模型，我们最小化在基于物理知识的神经网络框架中适应 PDE 问题时的预期误差，通过这种方式，即使解决方案未知，我们也能评估误差。我们证明了我们提出的方法在预测 PDE 问题的解决方案方面优于现有方法。

Oct, 2023

本文回顾了在流体力学问题中使用基于物理学的神经网络（PINNs）的方法，将数据和数学模型无缝集成。该方法可以用于求解涉及三维尾流、超音速流和生物流动等方面的逆向问题。

May, 2021