May, 2024

非线性抛物型 PDEs 和 PIDEs 的随机深度分裂方法的完整误差分析

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TL;DR该论文提出了一种基于随机神经网络的深度分裂算法的随机扩展，用于近似解决具有（可能）无线活动的高维非线性抛物线 PDE 和跳跃 PIDE。我们对所谓的随机深度分裂方法进行了全面的误差分析，并证明我们的方法在考虑的非线性 PDE 或 PIDE 的唯一黏度解上收敛。此外，我们通过考虑几个在违约风险下定价金融衍生品方面的相关非线性 PDE 和非线性 PIDE 的数值例子来经验性地分析我们的随机深度分裂方法。特别地，我们在所有例子中经验性地证明我们的随机深度分裂方法可以在秒级内近似解决 10,000 维的非线性 PDE 和 PIDE。
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发现论文，激发创造
  • 高维随机偏微分方程深度神经网络代理

    利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

    Jun, 2018

  • 深度放松：用偏微分方程优化深度神经网络

    通过与非线性偏微分方程的连接，将统计物理中的松弛技术重新解释为粘性哈密尔顿 - 雅各比偏微分方程的解，并利用随机控制理论证明改进的算法表现比随机梯度下降更好，在数学上分析了该算法的应用及众所周知的偏微分方程的规则性结果，并推导出实现算法中的随机同化问题的偏微分方程，该算法能有效地处理现代神经网络的高维数据。

    Apr, 2017

  • 高维完全非线性偏微分方程和二阶反向随机微分方程的机器学习逼近算法

    本文介绍一种新的用于解决高维金融模型中的非线性偏微分方程的方法，该方法包含非线性现象、深度神经网络和随机梯度下降类型优化过程，并通过海量数据的数值结果证明了该方法的高效性和精确性。

    Sep, 2017

  • 使用深度学习求解高维偏微分方程

    通过使用神经网络逼近未知解的梯度来解决高维偏微分方程，该算法在包括非线性 Black-Scholes 方程、Hamilton-Jacobi-Bellman 方程和 Allen-Cahn 方程等方程上均取得了精确和低误差的结果。

    Jul, 2017

  • 基于深度学习的高维抛物型偏微分方程和反向随机微分方程数值解法

    该论文提出了一种基于强化学习和神经网络的算法用于解决高维情况下的偏微分方程和反向随机微分方程等数学问题，并在物理和金融学领域的各种非线性情况下进行了测试和优化。

    Jun, 2017

  • 一种基于极限学习机的高维计算 PDEs 方法

    我们提出了两种基于随机神经网络解决高维偏微分方程 (PDE) 的有效方法。通过对这种类型网络的普适逼近性质的激励，这两种方法都将极限学习机 (ELM) 方法从低维扩展到高维。第一种方法中，$d$ 维度下未知解域由随机前向神经网络表示，其中隐藏层参数随机分配并固定，而输出层参数进行训练。PDE、边界 / 初值条件以及连续性条件 (对于方法的局部变量) 被施加在一组随机内部 / 边界对应点上。通过最小二乘解决其结果线性或非线性代数系统，从而得到网络参数的训练值。第二种方法通过一个基于近似理论的被约束表达式重新描述高维 PDE 问题，避免了随着维度增加而引发的 TFC 项数量的指数级增长。约束表达式中的自由域函数由随机神经网络表示，并通过类似于第一种方法的过程进行训练。我们进行了大量数值模拟，针对多个高维线性 / 非线性静态 / 动态 PDE，以展示这些方法的性能。与基于物理知识的神经网络 (PINN) 方法相比，当前方法在高维 PDEs 上既具有成本效益，又更准确。

    Sep, 2023

  • 基于多层卷积神经网络的参数化偏微分方程求解

    该论文提出了一种将多层求解器和基于神经网络的深度学习方法相结合的新方法，用于解决高维参数的偏微分方程数值解问题，并在理论和实验方面都得到了验证。

    Apr, 2023

  • 利用拆分法计算神经网络滤波方程解的表示形式

    本文结合神经网络表示法和 PDE-inspired 方法提出了一种新的方案，用于逼近信号过程的未归一化条件分布，并进一步开发了一种递归归一化过程。我们将该新方案与 Kalman 和 Benes 滤波器的数值逼近结果进行了测试。

    Jan, 2022

  • 具有物理知识的 DeepONets 用于参数演化方程的长时间积分

    本文提出了一种用于无配对输入输出观测的深度神经网络参数化的无穷维算子的学习框架，以实现对于参数 ODE/PDE 系统的精确长时间模拟，该方法虽然比传统数值解算法计算成本低，但可靠性更高且能够全局评估。

    Jun, 2021

  • 深度 PDE 求解器的期权定价误差分析：实证研究

    通过比较实验，我们评估了深度偏微分方程求解器在高维环境中的经验性能，并确定了其中的三个主要错误源。我们的结果表明，深度反向随机偏微分方程方法（DBSDE）在性能上优于其他方法，并对期权规范的变化表现出鲁棒性。此外，我们发现这些方法的性能与批量大小和时间步数的平方根成反比。这一观察可帮助估计使用深度偏微分方程求解器实现所需准确性所需的计算资源。

    Nov, 2023