May, 2024

闭式符号解：求解偏微分方程的新视角

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TL;DR该论文提出了一种新的框架：用于解决偏微分方程（PDE）的闭式符号框架（SymPDE），探索使用深度强化学习直接获得 PDE 的符号解。SymPDE 减轻了 Physics-Informed Neural Networks 在拟合高频率和陡变函数中面临的挑战，并通过在时间独立和时空动力系统中解决 Poisson 方程和热方程的实验，证明了 SymPDE 可以为各种类型的 PDE 提供准确的闭式符号解。
发现论文，激发创造
  • 解决双曲型偏微分方程的深度学习框架：第一部分

    开发了一种基于物理信息的深度学习框架，用于近似解非线性偏微分方程，可以在不预先了解解的性质或不连续点的位置的情况下发展出震荡或不连续的解。

    Jul, 2023

  • 使用修剪可微程序符号回归求解偏微分方程

    该研究介绍了一种终端到端框架，用于获得解决 PDE 的数学表达式，并使用训练有素的 PINN 生成数据集，使用文法来描述符号表达式空间，并使用 DPA 对其进行修剪以提高可解释性。平均而言，修剪使 DPA 的参数减少 95.3％，同时保持与 PINN 相同的准确性，而且平均而言，修剪将 DPA 的准确性提高了 7.81％。此外，该框架在复杂的 PDE 系统上表现优于现有的 SR 解算器。

    Mar, 2023

  • 基于物理知识的神经网络框架用于障碍相关方程建模

    本文探索使用 PINNs 求解障碍相关的偏微分方程，通过多种场景对线性和非线性、规则和不规则障碍下的 PDE 进行求解，表现良好。

    Apr, 2023

  • 利用快速的、物理启发的 Hermite-Spline CNNs 接近没有数据的 PDEs 的 Spline-PINN 算法

    本文介绍了一种新的技术方法，将机器学习的两种方法进行融合，通过物理知识驱动的神经网络和卷积神经网络相结合，解决了部分微分方程（PDE）的求解问题，实现了快速且连续的解决方案。通过在不需要预先计算训练数据的情况下，只使用物理信息的损失函数进行训练，同时展示了该方法在不可压缩 Navier-Stokes 方程和阻尼波动方程中的应用。

    Sep, 2021

  • 使用符号框架的可解释神经偏微分方程求解器

    通过将符号框架集成到神经求解器中，缩小了黑盒预测和解决方案之间的鸿沟，提高了解释性。

    Oct, 2023

  • DeepXDE: 用于求解微分方程的深度学习库

    深度学习在计算科学和工程领域中的应用取得了显著的成功，本文介绍一种基于物理学的神经网络（PINNs）算法，它可以嵌入偏微分方程到神经网络中，同时提出一种新的基于残差的自适应细化方法（RAR）来提高计算效率，并介绍了一个名为 DeepXDE 的 Python 库用于求解正问题和反问题，以及支持基于构造性实体几何技术的复杂几何域和函数的定义和定制化。

    Jul, 2019

  • NeuralPDE：使用误差逼近自动化物理特解神经网络（PINNs）

    本文详细解释了物理启发神经网络（PINNs）内部运作机制，提出了结合数值积分的新的损失函数，介绍了扩展损失函数在参数估计和算子发现中的应用，并展示了如何使用纯符号公式生成全部的训练代码；随后给出了详细的性能分析来展示在大量偏微分方程（PDEs）上使用学习技术的权衡；最后，着重介绍了麻烦、复杂的多物理场例子，Doyle-Fuller-Newman（DFN）模型，展示了如何使用 NeuralPDE 将其表达并求解。这份论文旨在提供一个详细而易懂的技术报告，以帮助潜在的用户快速了解 PINN 技术的实际表现和使用案例。

    Jul, 2021

  • 传统线性求解器能否被基于物理启发的深度学习所替代？

    本篇论文探讨了 PINN 作为线性求解器的潜力，在 Poisson 方程中评估了不同参数下的表现和精度，并且阐述了传递学习的关键作用。同时，论文也提出了将 PINN 与传统线性求解器相结合的方法，以解决高频解的问题，并表明该混合策略在发展具有潜力的新型线性求解器方面具有前景。

    Mar, 2021

  • 关于物理信息神经网络在线性二阶椭圆型和抛物型偏微分方程中的收敛性

    该论文介绍了新型 PINNs 的理论和实践研究，证明了其在解决偏微分方程方面的有效性和可靠性。

    Apr, 2020

  • 用物理视知卷积神经网络求解球面上的 PDEs

    通过使用深度卷积神经网络和球谐分析的最新近似结果，我们对物理信息的卷积神经网络（PICNN）在球面上求解偏微分方程的数值性能进行了严格的分析，并证明了其与 Sobolev 范数的逼近误差的上界。随后，我们将此与创新的定位复杂度分析相结合，建立了 PICNN 的快速收敛速率。我们的理论结果也得到了我们的实验的证实和补充。根据这些发现，我们探索了解决高维 PDEs 时出现的维度诅咒的潜在策略。

    Aug, 2023