该论文提出了一种新的框架：用于解决偏微分方程（PDE）的闭式符号框架（SymPDE），探索使用深度强化学习直接获得 PDE 的符号解。SymPDE 减轻了 Physics-Informed Neural Networks 在拟合高频率和陡变函数中面临的挑战，并通过在时间独立和时空动力系统中解决 Poisson 方程和热方程的实验，证明了 SymPDE 可以为各种类型的 PDE 提供准确的闭式符号解。

May, 2024

本文详细解释了物理启发神经网络（PINNs）内部运作机制，提出了结合数值积分的新的损失函数，介绍了扩展损失函数在参数估计和算子发现中的应用，并展示了如何使用纯符号公式生成全部的训练代码；随后给出了详细的性能分析来展示在大量偏微分方程（PDEs）上使用学习技术的权衡；最后，着重介绍了麻烦、复杂的多物理场例子，Doyle-Fuller-Newman（DFN）模型，展示了如何使用 NeuralPDE 将其表达并求解。这份论文旨在提供一个详细而易懂的技术报告，以帮助潜在的用户快速了解 PINN 技术的实际表现和使用案例。

Jul, 2021

本文探索使用 PINNs 求解障碍相关的偏微分方程，通过多种场景对线性和非线性、规则和不规则障碍下的 PDE 进行求解，表现良好。

Apr, 2023

本研究提出了一种名为 latentPINN 的框架，通过将偏微分方程（PDE）参数的潜在表示作为额外的输入进行 PINN 模型的训练，使用两个阶段的训练来学习 PDE 参数的潜在表示，并通过在解决区域内随机生成空间坐标和 PDE 参数值的样本进行物理感知神经网络的训练，试验结果表明该方法在不需要任何额外训练的情况下可以很好地适用于不同的 PDE 参数。

May, 2023

提出了一种基于物理的神经网络（PINN）的空间依赖型方法（SD-PINN），能够通过单个神经网络恢复空间相关的偏微分方程（PDE）系数，消除了对领域专业知识的需求。该方法通过引入物理约束具有对噪声的鲁棒性，并结合 PDE 系数空间变化的低秩假设，能够恢复没有测量数据的位置的系数。

Oct, 2023

提出一种使用变量缩放技术训练物理信息神经网络（PINNs）的新方法，通过对神经切线核（NTK）的分析提供理论证据并证明这种方法确实可以提高 PINNs 的性能。

Jun, 2024

本文介绍了一种新的技术方法，将机器学习的两种方法进行融合，通过物理知识驱动的神经网络和卷积神经网络相结合，解决了部分微分方程（PDE）的求解问题，实现了快速且连续的解决方案。通过在不需要预先计算训练数据的情况下，只使用物理信息的损失函数进行训练，同时展示了该方法在不可压缩 Navier-Stokes 方程和阻尼波动方程中的应用。

Sep, 2021

开发了一种基于物理信息的深度学习框架，用于近似解非线性偏微分方程，可以在不预先了解解的性质或不连续点的位置的情况下发展出震荡或不连续的解。

Jul, 2023

为了学习偏微分方程（PDEs）中的解算符，我们引入了神经参数回归（NPR）这一新颖框架。通过采用物理知识引导神经网络（PINN）技术对神经网络（NN）参数进行回归，该方法超越了传统的 DeepONets。我们的方法通过在每个解中基于特定初始条件进行参数化，有效地近似了函数空间之间的映射。通过引入低秩矩阵，我们的方法提高了参数效率，从而提升了计算效率和可扩展性。该框架在面对新的初始和边界条件时显示出显著的适应性，即使在分布之外的示例情况下也能进行快速微调和推断。

Mar, 2024

该研究介绍了一种名为 PPINN 的新型神经网络结构，可在短时间内解决时间依赖性偏微分方程问题，通过将一个长时间问题分解成许多由粗粒度求解器监督的独立短时间问题，PPINN 可以在几个迭代中实现收敛并获得显著加速。

Sep, 2019