用 Voronoi 分区进行离散和分段常数测量对 Wasserstein 空间 Wp (R^d) 进行测量结构化近似。通过使用缩放的 Lattice 网格进行 Voronoi 分区，我们表明无论 d 或 p 如何，基于 hLambda 的 Voronoi 分区的测量的近似误差是 O (h)。然后，我们使用覆盖论证表明，紧支承测量的 N 项近似是 O (N^(-1/d))，这与最优量化器和经验测量近似的已知速率相匹配。最后，我们将这些结果推广到具有足够衰减的非紧支承测量。

Oct, 2023

研究了如何利用经验测量量量化概率分布，并提出了 Pierce 类估计来估计误差，并在弱条件下证明了经验测量量化方法的最优性。

Aug, 2011

本文研究 Wasserstein 距离的问题，得出了关于概率测度的收敛速度的渐近结果和有限样本结果。结果表明，随着样本量 $n$ 的增加，测度可以呈现出不同的收敛速度。

Jul, 2017

研究了在 Wasserstein 度量下，经验测度与给定概率分布之间的收敛速度，给出了令人满意的非渐进 $L^p$- 限制和浓度不等式，同时将这些 $L^p$- 限制扩展到平稳的 $\rho$- 混合序列、马尔可夫链和一些相互作用的粒子系统。

Dec, 2013

本文提出一种泛化近期针对有限维欧几里得空间和有界函数空间的结果的，衡量概率测度和其经验版本之间期望 Wasserstein 距离的上界方法，并将其推广到具有大维度的欧几里得空间及分离的 Hilbert 空间中的 Gaussian process。此外，结合均值集中结果，给出了 Bernstein 型或 log Sobolev 型条件下，经验测度的 Wasserstein 误差的改进指数尾部概率界。

Apr, 2018

研究了紧超度量空间 X 的测度空间的几何形状，表明此 Wasserstein 空间的幂 p 使其成为 l^1 的凸子集，证明了关于超度量情况下 Wasserstein 空间的边界和尺寸估计，以及证明了关于超度量空间包含大的 co-Lipschitz 图像的结构定理。

Apr, 2013

研究通过给出（有噪声的）矩的测量值来近似一维分布的问题的下限。

Jul, 2023

该技术笔记证明了在温和条件下 Wasserstein 球是弱紧的，并提供了存在最优解的必要和充分条件。同时，如果 Wasserstein 球以离散参考度量为中心，则表征解的稀疏性。相比于现有文献，在短而精炼的证明下，说明了存在最优解的必要和充分条件在实际中容易验证。

Apr, 2020

本文旨在建立流形学习算法在紧凸子集上绝对连续概率测度空间中的理论基础，其中测度空间以 Wasserstein-2 距离 W 度量。我们首先介绍了概率测度子流形 Λ 的一种自然构造，配备了度量 Wλ，这是 W 对 Λ 的测地距离限制。与其他构造形成对比，这些子流形不一定是平坦的，但仍然允许类似于 Riemann 流形的局部线性化。然后，我们展示了如何仅通过 Λ 的样本集合和外在 Wasserstein 距离 W 来学习（Λ，Wλ）的潜在流形结构。特别地，我们展示了度量空间（Λ，Wλ）可以从具有节点 Λ 样本集合和边权重 W (λi, λj) 的图中，按照 Gromov-Wasserstein 的意义上逐渐恢复。此外，我们通过对从 λ 到足够接近和不同的样本 Λ 集合中，使用最优输运映射的合适 “协方差算符” 的谱分析，展示了如何渐近地恢复样本 λ 处的切空间。本文最后给出了一些关于子流形 Λ 的具体构造以及通过谱分析恢复切空间的数值例子。

Nov, 2023

通过随机目标函数的线性规划问题，实现有限点概率分布的经验 Wasserstein 距离的渐近分布，以方便进行统计推断（例如，基于样本的 Wasserstein 距离的置信区间）；该结果基于定向 Hadarmard 可微性，证明了经典引导法及其替代方法的失败。同时，该分布特性在两个数据集上得到了证明其实用性的验证。

Oct, 2016