Jan, 2013

通过热流对本征函数的节点集下限

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TL;DR研究了紧致的 Riemannian 流形上拉普拉斯特征函数的节点集合的大小，并通过比较特征函数的热流和人工构造的扩散过程的热流来恢复当前的最优下限。相同的方法应用于其他问题；例如，证明了节点域不能完全包含在 “相当平坦” 的表面的小邻域中的尖锐结果。我们预计这些概念与经典理论有更多联系，并提出了一些猜想。
laplacian eigenfunctionsnodal setsriemannian manifoldsdiffusion processnodal domain
发现论文，激发创造
  • 节点几何、热扩散和布朗运动

    利用 n 维布朗运动中的工具结合热扩散的 Feynman-Kac 公式，研究紧致黎曼流形 M 上的节点几何。一方面，我们通过扩展 Lieb 定理证明任何节点域 Omega^lambda 几乎完全包含半径约为 1 / 根号下 lambda 的球，从而略微完善了 Mangoubi 的结果。另一方面，我们还证明没有节点域可以被包含在 M 内有限多个曲面的合理狭窄的管状邻域内。

    Feb, 2016

  • 特征函数和节点集

    本研究是关于紧致黎曼流形上的 Laplacian 自函数及其零点集的最新结果的概述。它是 2011 年 JDG 会议上我的演讲总结。

    May, 2012

  • 流形热插值下高斯核化图拉普拉斯的特征收敛

    研究随机采样的流形上的图拉普拉斯矩阵与 Laplace-Beltrami 算子的谱收敛，证明可以通过与流形热核进行卷积来构造近似的本征函数，从而实现本征值和本征向量的收敛，证明了多维数据中的收敛率和一些低本征值的点与 Dirichlet 形式收敛之间的联系，进一步证明了密度校正图拉普拉斯下的点和 Dirichlet 形式收敛速度。

    Jan, 2021

  • 应用于 Hodge Laplacian 的黎曼流形离散化

    基于修正过的 De Rham 定理，本文比较了作用于微分形式上的 Hodge Laplacian 和由半径足够小的球构成的开覆盖上的上链所确定的组合 Laplacian 的谱，给出了组合 Laplacian 第一个正特征值的下界并推导出了 Hodge Laplacian 第一个正特征值的下界。

    Sep, 2006

  • 关于图形的 $p$-Laplacian 的节点域定理和高阶 Cheeger 不等式

    本文研究非线性图上的 $p$-Laplacian 算子的特征值、特征函数与 nodal 区域，证明 $p≥1$ 时 nodal 区域数目的界是紧的，并且当 $p>1$ 时，边界与线性 Laplacian 相同，$p=1$ 时不同，然后用 nodal 区域的性质证明了 $p>1$ 时的高阶 Cheeger 不等式。

    Feb, 2016

  • 图上 $1$-Laplacian 特征向量的节点域

    本文讨论了图论中的拉普拉斯算子和其本征向量、节点域等概念，并介绍了代数重数的概念用以更精确地估计独立本征向量的数量；同时也证明了最小极大原理得到的临界值并不能覆盖图拉普拉斯算子的所有本征值。

    Feb, 2016

  • 紧致黎曼流形上本征函数的梯度估计（无边界）

    研究紧致黎曼流形上 Laplace-Beltrami 算子的特征函数，提出了特征函数的梯度估计，并给出了梯度估计的上下界，其中正常数 C 只取决于该流形。

    May, 2009

  • 潜在理论，路径积分和指示函数的拉普拉斯算子

    本文将势理论和费曼路径积分领域联系起来，通过提出势等于域 D 的指示函数的拉普拉斯算子的正 / 负值，证明了路径积分的微扰级数与势理论的经典单层和双层边界级数匹配，并扩展了边界层的经典适用性。

    Feb, 2013

  • 向量热法

    该论文提出了一种高效计算曲面上切向量或在曲面上的任意矢量的平行运输的方法，借助于最短测地线的平行传输，通过一种基本的操作，能够快速地计算几何中值和构造中心点沃罗诺伊图等应用，并通过解决三个预分解的线性系统实现传输。

    May, 2018

  • 广义图 $p-$Laplacian 的节点区域数

    该研究基于线性 Schrödinger 算子，探讨了离散图上的广义 p-Laplacian 算子，研究了其多个频谱特性和其特征函数的节点区计数，在通用图上证明了 Weyl's 不等式以及新的上下界，并为线性 Schrödinger 算子提供了新的性质。

    Jan, 2022