Feb, 2013

箭头矩阵的准确特征值分解及应用

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TL;DR提出了一种使用偏移与倒数的算法，可以在 $O (n^{2})$ 次运算中高度准确地计算出实对称箭头矩阵的所有特征值和特征向量，并且适用于并行计算。该算法可以扩展到 Hermitian 箭头矩阵、实对称对角线加秩一矩阵和实三角形箭头矩阵的奇异值分解。
发现论文，激发创造
  • 低秩特征值问题

    矩阵乘积的非零特征值相等定理在矩阵计算的应用中有很大的优势，因为它可以用于计算低秩矩阵 AB 的特征值和特征向量，即求出矩阵 BA 的特征值和特征向量，从而得到原矩阵 AB 的特征值和特征向量。此外，本文还讨论了 Jordan 块在 AB 和 BA 之间的差异。

    May, 2019

  • 大规模广义特征向量计算和规范相关分析的高效算法

    本文提出了简化的迭代算法，用于解决数据分析和科学计算中的两个基础性问题：规范相关分析和对称矩阵对的广义特征向量问题，并通过一个通用框架来解决广义特征向量问题，该框架仅需要对近似线性系统求解器进行黑匣子访问，该算法是全局线性收敛的，并具有可行的时间复杂度，适用于大规模矩阵。

    Apr, 2016

  • 具有应用价值的分层矩阵快速对称因式分解

    本文介绍了一种快速计算对称正定分层矩阵的对称因子分解的算法，基于低秩更新和递归分治策略，可将计算成本降至 O (nlog^2n) 和 O (nlogn)，适用于处理概率和统计问题、径向基函数插值和流体力学中的算法等。

    May, 2014

  • 非稀疏低秩矩阵的量子奇异值分解

    本文介绍了一种在量子计算机上求解非稀疏非定秩矩阵指数的方法，可以在量子机制下得到奇异值及相关奇异向量的值，同时求解时所需的时间远远快于已知的传统算法。本方法针对非厄米和非方阵也适用，并讨论了最短的等距矩阵问题。

    Jul, 2016

  • 通过幺正对角化分解实方阵

    本文介绍了矩阵对角化中的一些重要概念，探讨了只有正交对角矩阵具有谱分解的证明，并证明了所有实方阵都可通过正交相似化为实数部分相同的正交矩阵。

    May, 2016

  • 矩阵对角化如游戏：教授特征值求解器最快的解法

    利用强化学习，使用 AlphaZero 框架将 Jacobi 矩阵对角化加速，实现了使用机器学习作为提高数值线性代数性能的可行性，从而在解决量子化学计算中对称哈密顿矩阵的过程中可以大大加速。

    Jun, 2023

  • 具有鲁棒性的位移反演预处理：特征向量计算的更快和更高效的算法

    提供更快的算法和改进的样本复杂度，以逼近一个矩阵的顶部特征向量，我们的结果围绕经典的移位和反演预处理方法进行了鲁棒分析来减少特征向量计算。

    Oct, 2015

  • 计算特征值和特征向量的迭代方法

    本文介绍了五种针对实矩阵计算特征值和特征向量的数值迭代算法，包括简单的幂迭代法和复杂的 QR 迭代法，并简要讨论了每种算法的推导过程和优点。

    May, 2011

  • 随机矩阵集时间滞后相关矩阵：特征值谱的推导和金融时间序列分析

    通过时间序列获得的自相关矩阵的特殊结构，以及基于逆 Abel 变换等方法获得其精确的特征值密度。研究发现，标准的高斯误差预测无法解释通过实际高频数据计算出的特征值密度的非随机模式，如 Imaginary 部分的不对称依赖性和市场影响下的股票聚类现象。

    Sep, 2006

  • 快速线性代数是稳定的

    研究表明，许多快速递归矩阵乘法算法在范数意义下是稳定的，基本所有标准线性代数运算，包括 LU 分解、QR 分解、线性方程求解、矩阵求逆、最小二乘问题求解、特征值问题和奇异值分解等均可在 O（n^（ω+η））的时间复杂度内稳定地完成。

    Dec, 2006