拓扑数据分析的一致流形表示

Jun, 2016

Consistent Manifold Representation for Topological Data Analysis

Tyrus Berry, Timothy Sauer

TL;DR提出了一种连续 k 近邻图构建方法 CkNN，适用于嵌入欧几里得空间的任意密度流形，证明 CkNN 在几何上是一致的，生成的图能够同时捕捉到流形的所有拓扑特征，并可用于快速聚类和图像中的拓扑模式识别，而且在大数据时限，CkNN 拓扑特征一致，意味着产生的图拓扑同样逼近了流形的拓扑。

Abstract

For data sampled from an arbitrary density on a manifold embedded in Euclidean space, the Continuous k-Nearest Neighbors (CkNN) graph construction is introduced. It is shown that CkNN is geometrically consistent

manifold graph construction laplacian clustering algorithm topology

发现论文，激发创造

k 最近邻自动调节核的图拉普拉斯收敛

本文证明了新型 k 近邻自适应带宽核的 Laplacian 算子收敛至流形加权 Laplacian，并支持该理论结果通过在模拟数据和手写数字图像数据上进行的数值实验。

Nov, 2020

利用软流形提升具有缺失数据的图嵌入

使用软流形进行图嵌入，为复杂数据集中的任何数据分析任务提供连续空间，实验结果表明其能够相对于现有技术更准确可靠地对图进行表征。

Nov, 2023

IAN: 迭代自适应邻域用于流形学习和维度估计

本论文提出了一种基于相似性核的自适应邻域算法，可应用于非线性降维、测地线计算和维度估算，通过 Gabriel 邻域图进行迭代稀疏，并使用线性规划来全局地获得最小邻域和体积统计量以检测局外点。与基于 k 近邻的标准算法相比，实验表明这种自适应邻域算法的应用是有用的。

Aug, 2022

最近邻样本压缩：效率、一致性、无限维度

本文研究了一个基于样本压缩界限的多类学习算法的贝叶斯一致性，并证明了在度量空间有限两倍维度的情况下，该算法是强贝叶斯一致的，甚至在某些无限维情况下也是连贯的，这是一项有趣的发现，当前存在几个值得研究的问题。

May, 2017

随机邻域图上的图拉普拉斯和其收敛性

通过概率测度采样子流形在欧几里得空间的样本，可以构造一个邻域图，作为子流形的近似。本文确定了文献中使用的三种不同图 Laplacian 在样本大小增加且邻域大小趋近于零时的点态极限。我们表明，在子流形上的均匀测度下，所有图 Laplacians 在常数的意义下均具有相同的极限。然而，对于在子流形上的非均匀测度的情况，只有所谓的随机游走图 Laplacian 收敛于加权 Laplace-Beltrami 算子。

Aug, 2006

几何图形滤波器和神经网络：极限特性与区分度的权衡

本文通过对图神经网络和流形神经网络在图构建、卷积核和神经网络等方面的分析，得出了一种针对该关系的适当内核及其密集和中等稀疏图的非渐进误差界定理，并探讨了图过滤器的可区别性和近似期望行为之间的权衡关系，并分析了非线性操作的频率混合特性和相同流形采样的几何图的可转移性推论，并在导航控制问题和点云分类任务上验证了其结果。

May, 2023

图拉普拉斯矩阵收敛性分析

通过不需要光滑性假设的核函数，我们将图拉普拉斯的分析推广到先前未研究过的图形类型，并引入了一种基于收缩邻域的核函数分析框架，以分析局部线性嵌入等问题。同时，我们描述了如何通过选择适当的图形构造来实现所需的收敛频谱和稀疏性等性质。

Jan, 2011

谱聚类的一致性

本文研究了流行的谱聚类算法的一致性，并开发了新方法来证明谱聚类算法的一致性。结果表明，规范化聚类在非常普遍的条件下是一致的，而未规范化聚类只在强附加假设下是一致的。因此，规范化谱聚类算法是优越的。

Apr, 2008

图神经网络在统计泛化中的多样视角

通过流形理论，分析在由流形样本构造的图上操作的图神经网络的统计泛化差距，研究了图神经网络在节点级和图级任务上的泛化差距。在训练图中节点数量增加时，泛化差距减小，从而保证图神经网络对流形上的未见点的泛化性能。通过多个真实世界数据集验证了我们的理论结果。

Jun, 2024

相似性搜索的快速谱排序

本研究介绍了一种显式嵌入方法，将流形搜索转化为欧氏距离搜索，并且利用近似傅里叶基础加速在线搜索，从而提高了特定对象的检索精度和效率。

Mar, 2017