提出了一种基于稀疏回归的方法，能够通过空间域中的时间序列测量发现给定系统的主要偏微分方程，该方法通过稀疏促进技术来选择最准确地表示数据的非线性和偏导数术语，同时考虑模型复杂性和回归精度的平衡，通过帕累托分析选择简洁的模型，并在多种数学物理问题中进行了演示。

Sep, 2016

本文提出了一种新的框架，将神经网络、遗传算法和自适应方法相结合，应用于从稀疏噪声数据，不完整的备选库和空间或时间变化系数中发现偏微分方程。该方法在 Burgers 方程，对流扩散方程，波动方程和 KdV 方程上进行了测试，结果表明该方法对噪声数据具有鲁棒性，能够发现具有不完整备选库的参数 PDE。

May, 2020

通过机器学习中的变分贝叶斯和稀疏线性回归的组合方法，提出了一种新的从数据中发现偏微分方程的方法，可应用于物理、工程和生物学领域等。

Jun, 2023

ARGOS-RAL 利用稀疏回归结合循环自适应 lasso 从有限先验知识中自动识别偏微分方程 (PDEs)，其性能在各种噪声水平和样本量下得到了严格评估，展示了在处理噪声和非均匀分布的数据方面的稳健性。通过将统计方法、机器学习和动力系统理论相结合，ARGOS-RAL 在大多数情况下效果优于顺序阈值岭回归方法，突显了从收集到的数据中自动发现控制方程的潜力，从而简化科学建模过程。

Apr, 2024

本文提出一种新的基于物理编码离散学习框架，用于从稀缺且有噪声的数据中发现时空偏微分方程，通过引入基于深度卷积 - 循环网络进行先前的物理知识编码，并利用重构数据的稀疏回归来识别控制 PDEs 的显式形式。作者在三个非线性 PDE 系统上进行了验证，展示了该方法的有效性和优越性。

Jan, 2022

本研究提出一种基于伴随方法的优化问题，用于从数据中发现潜在的偏微分方程，通过考虑参数化的偏微分方程形式，并最小化 PDE 解与数据之间的误差来计算 PDE 参数的梯度。该方法通过变分计算获取了保正参数的演化方程，可以精确地还原真实的 PDE，尽管在存在噪声的情况下，方法精确度与 PDE-FIND 方法相当。

Jan, 2024

该研究借鉴数值 PDE 方案收敛分析的基本思想，使用 Lasso 方法在考虑噪音、非线性和不同系数 PDE 的情况下验证和纠正数据结果，提出了一种新的算法 IDENT， 并分析数据产生和降采样、降噪、分析噪声到信号比等影响因素

Apr, 2019

本文介绍了使用深度学习发现复杂数据集中隐藏的偏微分方程 (包括线性和非线性方程)。通过使用测量数据进行必要的输入数据转换来实现发现过程中的坐标转换。同时，展示了用于选择特征和模型的技巧。通过本文的分析，可以发现非线性二阶偏微分方程的动力学可以由我们的深度学习算法自动准确地描述为普通微分方程。在研究更复杂的模拟时，也可以得到类似的结果。

Aug, 2018

本文提出了一种新的框架，该框架结合了随机微积分，变分 Bayes 理论和稀疏学习等概念，提出了扩展的 Kramers-Moyal 展开来发现随机偏微分方程 (SPEDs) ，并且用 Spike-and-Slab 先验概率和稀疏学习技术来有效准确地发现潜在的 SPDEs，并且利用三个经典的 SPDEs（随机热方程，随机 Allen-Cahn 方程和随机 Nagumo 方程）进行了实证应用，结果表明，本文提出的方法可以用有限的数据准确地识别出潜在的 SPDEs。

Jun, 2023

本文提出基于分离变量的偏微分方程解法的新典范，引入了时空分离的动态解释，建立了基于学习空间和时间解耦表示的模型，以准确预测未来观测，实验表明该方法对物理和合成视频数据集具有广泛的适用性。

Aug, 2020