Nov, 2018

关于度量测度空间的功能数据和弗雷歇函数的拓扑研究

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TL;DR本文研究紧致拓扑空间上的功能数据和紧致度量测度空间上的结构数据的持久同调。我们探讨保留形状信号的性质的持久同调不变量的稳定性，并使用降低信号弱区域影响的度量来研究数据的持久同调不变量的连贯性和估计。我们还应用这种方法来构建紧致黎曼流形上的多尺度拓扑描述符。
发现论文，激发创造
  • 测度度量空间上的持久同调的鲁棒统计、假设检验和置信区间

    该研究探讨了与从度量测度空间中提取固定大小的子样本相关的持久同调条形码的分布，证明这些分布提供了度量测度空间的强韧不变量，并展示其在假设检验和提供拓扑数据分析置信区间方面的应用。

    Jun, 2012

  • 非等向性持续同调：利用 PH 的度量依赖性

    通过在底层空间中变换距离函数并分析相应的持久图中的变化，非各向同性的持久同调可提取出关于方向、方向差异和随机生成点云的缩放等方面的信息。

    Oct, 2023

  • 通过持久同调得出测度的分形维数

    利用持久同调来定义分形维数，其中包括一维持久同调间隔长度的总和，通过逐渐增加的点数并能够在较多情况下分配更细粒度的不变量。

    Aug, 2018

  • 基于耦合时间序列构建的时变功能网络的持久同调

    使用拓扑数据分析方法研究实验和人工来源的时间序列数据所构造的 “功能网络”。使用持久性同调与加权等阶团过滤来深入挖掘功能网络，使用持续地形图来解释结果，表明持续同调可以检测数据集中随时间出现的同步模式的差异，从而揭示网络社群结构的变化和学习过程中形成回路的脑区之间的同步增强。

    May, 2016

  • 基于线性代数的持久同调秩函数主成分分析研究：以空间点模式、球填充和胶体为例

    本文研究了使用持久同调函数的排名函数及其在功能主成分分析中的应用，验证了从多次模拟或实验中得出的排名函数在仿射子空间中的可行性，同时还以胶体和球堆积数据为例研究了其应用及在二维点模式的完全空间随机性检验中的潜力。

    Jul, 2015

  • 持续（共）同调的更高同伦扩展

    本文介绍了持久（余）同调中出现的可能有趣的同伦结构，提出了一种针对拓扑数据分析的（伪）度量方法，能识别不同的轮廓结构，如博罗米茄环，并证明了持久同调和余同调之间的轮廓结构之间存在关系。

    Dec, 2014

  • 基于谱方法的高维数据的持久同调

    在高维噪声的存在下，通过 $k$ 最近邻图上的谱距离，如扩散距离和有效电阻，可以使持久同调在检测正确拓扑结构方面具有鲁棒性。该研究还导出了有效电阻的新的闭式表达式，并描述了其与扩散距离的关系。最后，通过应用这些方法于几个高维单细胞 RNA 测序数据集，表明 $k$ 最近邻图上的谱距离可以稳健地检测细胞周期环。

    Nov, 2023

  • 持久图的置信区间

    本文介绍在持久同调领域引入统计学思想，利用置信集区分拓扑信号与拓扑噪声的研究。

    Mar, 2013

  • 用于大数据拓扑和几何分析的量子算法

    本研究提供了用于持久同调中计算 Betti 数的量子算法，以及用于查找组合拉普拉斯的特征向量和特征值的算法。这种算法比拓扑数据分析的经典算法速度更快。

    Aug, 2014

  • 稳健的拓扑推断：距离度量和核距离

    文章采用持久同调方法总结距离函数下水平集的拓扑特征，提出了抗噪声和异常值的距离测度方法 DTM 和核函数距离，并对 DTM 进行了浓度界定和参数选择。

    Dec, 2014