本文提出了一种用于生成模型的廉价替代方案，该方案使用投影优化器以及输运样条来加入连续的样本并插值演变密度，比起基于时间而条件的现有流模型具有高度的竞争力，适用于一系列高维度问题。

Apr, 2023

通过动态形式化的最优输运，结合底层几何学（动能）选择和密度路径（势能）的正则化，构造了多种变分问题（Lagrangians），包括 Schrödinger 桥、非平衡最优输运和具有物理约束的最优输运等。采用双重 Lagrangians 的对偶形式提出了一种新颖的基于深度学习的统一框架，无需模拟或反向传播经过学习动力学的轨迹，并且不需要访问最优耦合。通过在单细胞轨迹推断中融入先验知识，展示了所提框架的多功能性能，从而在正确预测方面优于先前方法。

Oct, 2023

通过使用神经网络逼近未知解的梯度来解决高维偏微分方程，该算法在包括非线性 Black-Scholes 方程、Hamilton-Jacobi-Bellman 方程和 Allen-Cahn 方程等方程上均取得了精确和低误差的结果。

Jul, 2017

我们提出了一种基于有限维控制的方法来近似解决高维演化型偏微分方程的解算符。通过使用通用的降阶模型，例如深度神经网络，我们将模型参数的演化与相应函数空间中的轨迹连接起来。利用神经常微分方程的计算技术，我们学习参数空间上的控制，从而使受控轨迹与 PDE 的解非常接近。对于一类二阶非线性 PDE，我们验证了近似精确度。对几个高维 PDE，包括解决 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的真实应用，我们展示了所提方法的准确性和效率。

Jan, 2024

我们提出了两种基于随机神经网络解决高维偏微分方程 (PDE) 的有效方法。通过对这种类型网络的普适逼近性质的激励，这两种方法都将极限学习机 (ELM) 方法从低维扩展到高维。第一种方法中，$d$ 维度下未知解域由随机前向神经网络表示，其中隐藏层参数随机分配并固定，而输出层参数进行训练。PDE、边界 / 初值条件以及连续性条件 (对于方法的局部变量) 被施加在一组随机内部 / 边界对应点上。通过最小二乘解决其结果线性或非线性代数系统，从而得到网络参数的训练值。第二种方法通过一个基于近似理论的被约束表达式重新描述高维 PDE 问题，避免了随着维度增加而引发的 TFC 项数量的指数级增长。约束表达式中的自由域函数由随机神经网络表示，并通过类似于第一种方法的过程进行训练。我们进行了大量数值模拟，针对多个高维线性 / 非线性静态 / 动态 PDE，以展示这些方法的性能。与基于物理知识的神经网络 (PINN) 方法相比，当前方法在高维 PDEs 上既具有成本效益，又更准确。

Sep, 2023

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

本文提出了一种有效的组合方法，采用最优输运和稳定性正则化，使神经 ODE 倾向于更简单的动态系统，可以将训练时间显著减少，并且不会损失性能，从而将神经 ODE 应用于大规模应用。

Feb, 2020

该论文提出了一种分布式数据范围方法，通过严格限制信息范围来预测局部属性，从而解决了深度学习架构在传输现象模拟中的不兼容问题，实验证明该方法显著加速了训练收敛并提高了大规模工程模拟的模型泛化能力。

May, 2024

本文介绍一种新的用于解决高维金融模型中的非线性偏微分方程的方法，该方法包含非线性现象、深度神经网络和随机梯度下降类型优化过程，并通过海量数据的数值结果证明了该方法的高效性和精确性。

Sep, 2017

本文介绍了一种新的深度学习算法 ——PI-DeepONets 用于求解 Buckley-Leverett 偏微分方程并在多个科学和工程领域实现了四个数量级的速度提升，为传输问题研究提供了有前途的工具。

Jul, 2023