本研究提出了一种使用人工神经网络解决初始和边界值问题的方法，其中差分方程的试验解被写成两部分的和，第一部分满足边界条件，不包含任何可调参数，第二部分涉及前馈神经网络，包含可调参数（权重）。因此，通过构造满足边界条件的方法，使神经网络训练满足差分方程。本文通过解决各种模型问题并与有限元素进行比较，说明了该方法的适用性范围从单个 ODE 到耦合 ODE 系统，再到 PDE。

May, 1997

该研究论文展示了如何使用基于神经网络的方法用于数值偏微分方程中处理随机系数的问题，通过神经网络解决 PDE 问题从而简单和精确地表示物理量。

Jul, 2017

利用采样方法，从数据无关和数据相关的概率分布中提取隐含权重和偏置的神经网络，可以在训练时间和逼近精度方面取得重大突破，并且能够有效解决时变和静态的偏微分方程以及逆问题，带来了光谱收敛和无网格构建基函数等优势。

May, 2024

提出了一种新的数据驱动的降阶建模方法来高效求解参数化的偏微分方程问题，并利用隐式神经表示来对物理信号进行连续建模，而与空间 / 时间离散化无关。

Nov, 2023

本文提出了一种新型的混合反向问题复合框架，将深度神经网络的高表现力与现有偏微分方程数值算法相结合，通过语义自编码器的自定义层，将计算数学、机器学习和模式识别技术融合在一起，实现了域特定知识和物理约束的综合应用，解决了大量数据中的未知字段这个问题，称之为混合反向 PDE 网络 (BiPDE 网络)，并在一维和二维空间中的泊松问题中，以及一维的时间依赖和非线性 Burgers 方程中，应用和证明了其可行性和噪声鲁棒性。

Jan, 2020

本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

Jan, 2023

利用深度学习方法解决高维随机偏微分方程的问题。通过使用全连接深度残差网络来逼近随机偏微分方程，在确定逼近深度神经网络的参数时，采用了 SGD 的变种，并在扩散和热传导问题上得到了验证。

Jun, 2018

我们提出了一种基于神经网络的元学习方法，用于高效解决偏微分方程（PDE）问题。该方法通过元学习来解决各种各样的 PDE 问题，并将这些知识用于解决新的 PDE 问题。我们使用神经网络将 PDE 问题编码成问题表示，其中，控制方程由偏导数的多项式函数的系数表示，边界条件由一组点条件对表示。我们将问题表示作为神经网络的输入来预测解决方案，通过神经网络的前向过程，我们能够高效地预测特定问题的解决方案，而无需更新模型参数。为了训练我们的模型，我们最小化在基于物理知识的神经网络框架中适应 PDE 问题时的预期误差，通过这种方式，即使解决方案未知，我们也能评估误差。我们证明了我们提出的方法在预测 PDE 问题的解决方案方面优于现有方法。

Oct, 2023

本文引入了一种演化深度神经网络模型，用于求解偏微分方程，通过在参数空间内更新神经网络权重来预测状态空间轨迹，边界条件嵌入神经网络中，对多个方程模型进行了理论和实验模拟，验证了模型精确和实用性。

Mar, 2021

我们提出了一种两尺度神经网络方法，用于使用物理相关神经网络 (PINNs) 解决具有小参数的偏微分方程 (PDEs)。我们直接将小参数纳入神经网络的结构中。该方法能够简单地解决具有小参数的 PDEs，无需添加傅里叶特征或其他计算上繁重的截断参数搜索。各种数值实例表明，该方法能够合理准确地捕捉由小参数引起的解中的大导数特征。

Feb, 2024