使用物理约束的神经网络和贝叶斯后验均值估计的方法在物理和机器学习领域得到了广泛的应用，本研究探讨了这些方法在解决偏微分方程及其反问题时的性能和收敛性。
Jun, 2024
本文介绍了一种基于物理信息的神经网络（PINN）来解决偏微分方程的方法，并提出了一种基于容差的正确性条件的后训练框架（CROWN），用于限制 PINN 残差误差，并在经典 PDE 和现实应用中进行了实际效果测试。
May, 2023
该论文介绍了新型 PINNs 的理论和实践研究，证明了其在解决偏微分方程方面的有效性和可靠性。
Apr, 2020
研究以理论角度验证 PINNs 的稳定性，推导了 Burgers' PDE 通用界限，实验证明界限与由神经网络找到的虚拟爆破解与真实爆破解之间的 L2 距离密切相关。
Oct, 2023
我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明 RPINN 是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得 PDE 解的神经网络逼近。
Jan, 2024
在本文中，我们针对 Cauchy 问题的情况，确定了使用 L2 残差作为目标函数和神经网络的逼近差异两个问题，指出最小化 L2 残差和初始条件误差的总和不足以保证真实解，并且神经网络无法捕捉解中的奇异性，这影响了全局极小值的存在和网络的正则性。我们通过数值实验支持了我们的理论观点。
May, 2024
提出了一种通用的框架，用于导出物理相关神经网络（PINN）和操作器学习结构（如 DeepONets 和 FNOs）以及物理相关操作器学习的逼近误差的严格界限，并保证这些结构将有效逼近一般偏微分方程（PDE）的解或解算子。
May, 2022
本研究提出了一种基于增广拉格朗日方法的 Physics-Informed Neural Networks (AL-PINNs) 算法，用于优化偏微分方程的残差问题，并通过数值实验证明了该方法相较于现有的自适应损失平衡算法具有更小的相对误差。
Apr, 2022
对物理启发机器学习中的物理信息神经网络和相关模型的数值分析结果进行综合评述，并重点阐述了在近似偏微分方程时 PINN 所产生的误差在各个组成部分的行为，以及与 PDE 类型和基础域维度相关的逼近、概括和训练误差的可用结果。同时阐明了解的稳定性和解的规则性对误差分析的作用，最后通过数值结果来说明训练误差对物理启发机器学习中各种模型整体性能的不利影响。
在这项研究中，我们提出了一种名为 OL-PINN 的新型框架，将 DeepONet 与 PINN 相结合来解决具有尖锐解决方案的问题，并成功解决了非线性扩散反应方程、Burgers 方程和高雷诺数下的不可压纳维 - 斯托克斯方程等问题，提高了准确性和鲁棒性，同时广泛应用于解决逆问题。