Oct, 2023

PMNN：基于物理模型的神经网络求解时间分数阶微分方程

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TL;DR本文提出一种创新的物理模型驱动神经网络（PMNN）方法，用于求解分数阶微分方程。该方法通过将深度神经网络与分数导数的插值逼近技术相结合，建立了一个时间迭代框架，并通过训练神经网络学习这个迭代框架，从而获得微分方程的近似解。通过数值实验验证了 PMNN 方法的效率和准确性。
physical model-driven neural networktime-fractional differential equationsdeep neural networksinterpolation approximationnumerical experiments
发现论文，激发创造
  • 利用赝哈密顿神经网络学习偏微分方程

    本文将伪哈密顿神经网络方法扩展到偏微分方程，生成包含三个神经网络的模型，分别模拟代表守恒、耗散和外力的项，并包括可学习的离散卷积算子，数值结果表明 PHNN 的卓越性能。此外，由于 PHNN 模型由三个有不同物理解释的部分组成，反演时可以分别研究每个部分，具有良好的泛化能力。

    Apr, 2023

  • NeuPDE: 基于神经网络的常微分方程和偏微分方程模型，用于建模时变数据

    使用神经网络和偏微分方程提取动态数据中的模型，参数化模型来结合空时样本相关性，在 MNIST 和 Fashion MNIST 上与其他深度神经网络进行了比较，证明本方法能够降低参数成本。

    Aug, 2019

  • TSONN：面向时间步进的神经网络用于求解偏微分方程

    通过将时间步进方法与深度学习相结合，本研究将原始的 ill-conditioned 优化问题转化为一系列基于给定伪时间间隔的 well-conditioned 子问题，从而大幅提高了模型训练的收敛性，提供了一个稳健的基于优化的 PDE 求解器。与基于传统网格的数值方法相比，在神经网络优化方法框架下，本方法展示了时间步进方法的几个新颖特性和优势，同时显著提高了显式方案的时间步长，并且隐式方案的实现方式与显式方案一样简单。

    Oct, 2023

  • 参数化偏微分方程的多极图神经算子

    通过构建多级图神经网络框架，解决基于深度学习的物理系统模拟和偏微分方程求解中数据格式与神经网络所需结构不匹配所带来的挑战，提出一种对于 GNN 和多分辨率矩阵核分解统一的方法，该方法可以处理所有范围的相互作用并具有线性复杂度。实验证明，这种多图网络可以学习离散化不变的 PDE 解算符并可以在线性时间内进行评估。

    Jun, 2020

  • 基于量子启发式张量神经网络求解偏微分方程

    本文介绍了如何通过 Tensor Neural Networks 来解决 Partial Differential Equations 的问题，实现了与 Deep Neural Network 同样精度的情况下更小的参数及更快的训练速度，并以 Black-Scholes-Barenblatt equation 模型为例进行了测试验证。

    Aug, 2022

  • 复杂地形中偏微分方程的统一深度人工神经网络方法

    本文利用深度前馈人工神经网络近似求解复杂几何下的偏微分方程，并演示了如何修改反向传播算法来计算网络输出对空间变量的偏导数。此方法基于一种假设解法，只需要前馈神经网络和梯度优化方法，如梯度下降或拟牛顿方法，可以作为网格法无法使用时的有效替代方案。此外，本文还阐述了深度相比于浅度神经网络的优势及其他收敛增强技术的设想。

    Nov, 2017

  • DPM: 一种用于物理信息神经网络在外推方面的新型训练方法

    提出了一种基于神经网络物理学的方法来学习复杂物理过程的动态学习，用于时间上的超出训练范围外的解决方案的外推，并使用新的改进 PINN，可以在时间上精确地外推解决方案。

    Dec, 2020

  • 解决偏微分方程的快速分辨率无关的神经技术

    本文综述了传统的 PDE 数值逼近方法以及近期的基于机器学习的方法，重点介绍了以神经算子为中心的关键构架，这是一种学习 PDE 解算子的新方法，与传统方法相比具有 1000 倍的计算速度优势，这些新的计算方法可以在解决许多基础和应用物理问题方面带来巨大优势。

    Jan, 2023

  • 物理信息操作学习与有限元法的参数学习偏微分方程的融合

    利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。

    Jan, 2024

  • 神经网络逼近微分方程的正确性验证

    通过定义神经网络的导数为有限差分逼近，并提出求解偏微分方程残差边界问题和初始值问题误差传播的方法，我们首次解决了在没有先验知识的情况下界定神经网络函数的问题，并构建了一个并行分支算法，该算法结合了不完全的 CROWN 求解器和梯度攻击来解决终止和域拒绝条件。我们展示了提议框架的优点和缺点，并提出了进一步改进效率的工作。

    Feb, 2024