李点对称性与物理信息网络

Nov, 2023

Lie Point Symmetry and Physics Informed Networks

Tara Akhound-Sadegh, Laurence Perreault-Levasseur, Johannes Brandstetter, Max Welling, Siamak Ravanbakhsh

TL;DR我们研究了将偏微分方程 (PDE) 的对称性，即李点对称性，整合到物理信息神经网络 (PINNs) 中的方法，并提出了一种损失函数，用于告知网络关于李点对称性，从而提高了 PINNs 的样本效率。

Abstract

symmetries have been leveraged to improve the generalization of neural networks through different mechanisms from data augmentation to equivariant architectures. However, despite their potential, their integration into neural solvers for partial differential equations (PDEs) remains la

symmetries neural networks partial differential equations (pdes)lie point symmetries physics-informed neural networks (pinns)

发现论文，激发创造

神经 PDE 求解器的 Lie 点对称数据增强

本文介绍了一种基于 Lie 对称数据增强的方法，能够解决神经偏微分方程求解器中需要高质量数据的问题，并能够轻松地将其部署到神经偏微分方程求解器中以提高样本复杂度约一个数量级。

Feb, 2022

基于对称群的域分解以增强用于求解偏微分方程的基于物理信息的神经网络

本文提出了一种基于对称群的域分解策略，以增强物理信息神经网络（PINN）对具有李对称群的偏微分方程（PDE）的正向和反向问题的求解能力，该方法通过将整个训练域划分为多个不重叠的子域，并利用 PINN 和对称增强 PINN 方法在每个子域中学习解决方案，最后将它们拼接成 PDE 的整体解。通过 Korteweg-de Vries 方程和非线性粘性流体方程的数值结果表明，该方法显著提高了学习解的精度。

Apr, 2024

基于物理信息的神经网络在转换几何和流形上的应用

将几何变换与物理约束神经网络（PINNs）结合，通过将微分同胚作为参考域的映射并调整物理约束损失函数的导数计算，我们实现了对复杂几何和低维流形的 PINNs 的应用，从而允许在网络训练中进行直接的形状优化。通过对多个问题的示例验证，特别是在几何变化下，我们展示了该方法相比传统 PINNs 的增强灵活性。该框架为在科学和工程中基于参数化几何体上的偏微分方程（PDEs）进行高级建模铺平了道路。

Nov, 2023

用模型集成改进物理知识神经网络的训练

该论文提出了使用集成的物理信息神经网络 (PINN) 来解决解偏微分方程 (PDEs) 的问题，通过逐步扩展解决方案间隔以及结合 PINN 模型集中观察点的解决方案的一致性来稳定 PINN 的培训，并使结果明显优于目前存在的时间自适应策略的 PINN 算法。

Apr, 2022

鲁棒的物理信息神经网络

我们介绍了一种鲁棒版本的物理启发式神经网络（RPINN）来近似求解偏微分方程（PDEs），该方法利用能量范数计算的残差和格拉姆矩阵的倒数构建了损失函数，在两个空间维度的拉普拉斯问题和对流扩散问题中进行了测试，结果表明 RPINN 是一种鲁棒的方法，其损失函数与解的真实误差在能量范数下相符，因此我们可以知道训练过程进行得如何，并在达到所需精度的真实误差下停止训练来获得 PDE 解的神经网络逼近。

Jan, 2024

良好的格训练：物理推断神经网络加速的数论

使用 GLT（good lattice training）技术来替代常用的均匀随机抽样或拉丁超立方抽样，减少了收敛点的数量，并降低了计算成本，同时保持了与这些方法相当的性能，加强了 PINNs（Physics-informed neural networks）在解决偏微分方程时的效率与性能。

Jul, 2023

Lie-Poisson 神经网络 (LPNet): 基于数据的具有对称性的哈密顿系统计算

基于数据的哈密顿系统长期演化精确预测需要一个在每个时间步骤下保留适当结构的网络。本文介绍了两种确切保留李 - 泊松系统的 Poisson 括号和特殊函数（卡西米尔）到机器精度的转换，一种是使用密集神经网络计算转换参数的 LPNets，另一种是使用转换的组合作为构建模块的 G-LPNets，并展示了如何将这些方法应用于更大类别的 Poisson 括号。这些方法对于构建准确的基于数据的物理系统长期动力学仿真方法至关重要。

Aug, 2023

基于超网络的元学习低秩物理知情神经网络

通过提出一种轻量级低秩 PINN 和相关的超网络元学习算法，本研究有效地解决了在各种工程和应用科学应用中需要对多个输入参数进行重复数值模拟的问题，并展示了该方法在克服 PINN 的 “失败模式” 方面的有效性。

Oct, 2023

机器学习中实施、发现和促进对称性的统一框架

提供了将对称性引入机器学习模型的一种统一的理论和方法框架，包括强制已知对称性、发现未知对称性和通过施加凸正则化函数来促进对称性等方面。

Nov, 2023

闭式符号解：求解偏微分方程的新视角

该论文提出了一种新的框架：用于解决偏微分方程（PDE）的闭式符号框架（SymPDE），探索使用深度强化学习直接获得 PDE 的符号解。SymPDE 减轻了 Physics-Informed Neural Networks 在拟合高频率和陡变函数中面临的挑战，并通过在时间独立和时空动力系统中解决 Poisson 方程和热方程的实验，证明了 SymPDE 可以为各种类型的 PDE 提供准确的闭式符号解。

May, 2024