通过层次聚类压缩非线性物理模型的库普曼矩阵

Mar, 2024

通过层次聚类压缩非线性物理模型的库普曼矩阵

Compression of the Koopman matrix for nonlinear physical models via hierarchical clustering

Tomoya Nishikata, Jun Ohkubo

TL;DR机器学习方法允许仅通过数据预测非线性动态系统。其中之一是库普曼算子，它使我们能够对非线性动态系统使用线性分析。延伸的动态模态分解是近似库普曼算子为有限维矩阵的方法之一。我们提出了一种使用分层聚类对库普曼矩阵进行压缩的方法。在小车杆模型上进行了数值演示，并与传统的奇异值分解进行了比较；结果表明分层聚类比朴素的奇异值分解具有更好的性能。

Abstract

machine learning methods allow the prediction of nonlinear dynamical systems from data alone. The koopman operator is one of them, which e

machine learning nonlinear dynamical systems koopman operator extended dynamic mode decomposition hierarchical clustering

发现论文，激发创造

基于数据的 Koopman 算子近似：拓展动态模态分解

本文介绍了一种基于数据的方法，用于近似 Koopman 算子的主要特征，其不需要显式的控制方程或与 “黑匣子” 积分器的交互，并演示了该方法的可行性及其潜在应用示例。

Aug, 2014

具备保证稳定性的非线性动态线性嵌入的物理知识概率学习

本文提出了一种基于测度理论的深度神经网络学习连续时间 Koopman 算子的方法，使用结构参数化来保证稳定性，并构建了一个自动编码器架构以学习动态模态分解的残差部分，并在基于贝叶斯方法的平均场变分推断下评估了该框架。

Jun, 2019

Koopman 操作符的谱特征的遍历理论、动态模态分解与计算

本文研究了基于 Hankel 型数据矩阵的 Dynamic Mode Decomposition 算法在计算无限维 Koopman 算子的特征值和特征函数上的收敛性，证明了在刻画极限动力学系统的哈尔小波基函数上，DMD 算法的向量投影可用于近似函数投影并收敛于 Proper Orthogonal Decomposition。该方法被成功应用于计算流体力学以及其他的动力学系统，是一种可行的数值模拟方法。

Nov, 2016

学习 Koopman 不变子空间用于动态模态分解

该研究提出了一种基于数据驱动的 Koopman 谱分析方法，该方法通过最小化线性最小二乘回归的残差平方和来估计一组将数据转换为线性回归适合的形式的函数，并采用神经网络实现并在非线性动力系统及其应用中进行了实证评估。

Oct, 2017

乘法动态模态分解

本论文引入了乘法动态模态分解（MultDMD），通过在其有限维近似中强制实现 Koopman 算子的乘法结构，从而更准确地反映 Koopman 算子的谱特性。我们详细阐述了 MultDMD 的理论框架，包括其公式化、优化策略和收敛性质。通过多个示例（包括非线性摆、Lorenz 系统和流体动力学数据），我们证明了 MultDMD 对噪声的出色鲁棒性。

May, 2024

自动微分在数据驱动的动力建模中的预测能力提升：Koopman 和神经 ODE 方法

通过数据驱动的近似方法预测由复杂动力学特征的系统的时间演化是一个有前景的研究方向。本文介绍了一种改进的扩展动态模式分解与字典学习方法，同时确定可观测量的字典及其对应的 Koopman 算符的近似值，并通过伪逆使用自动微分来促进梯度下降计算。我们通过对比 Koopman 方法、状态空间方法和纯 Koopman 方法在不同系统中的性能表现，发现我们的方法显著优于传统方法，并且当 Koopman 方法在每个时间步骤在状态和可观测量空间之间交替时，与状态空间方法的预测结果相当。

Oct, 2023

动力系统的现代 Koopman 理论

介绍了最新的 Koopman 算子理论及算法发展，重点强调了这些方法在各种应用领域中的作用，同时讨论了机器学习中的重大进展和挑战，这些可能推动未来的发展并显著转变动力系统的理论面貌。

Feb, 2021

大规模动力系统中的部分观测、粗粒化和 Koopman 算子理论中的等变性

通过对大规模系统的部分观测或粗粒化进行分析和数值实验，本文探讨了 Koopman 算子在非线性动力学中的线性函数空间表示，同时提出了 EDMD 算法在选取观测的数量时可能存在的问题，并揭示了系统动力学对 Koopman 算子的对称性，可大幅提高模型的效率，并提供了 Kuramoto-Sivashinsky 方程数值实例支持。

Jul, 2023

线性循环自编码器网络用于学习动力学

本文提出了使用神经网络逼近 Koopman 算子的方法来学习非线性动态系统的低维逼近，并且讨论了与这种方法相关的数据表示问题和过拟合问题，提出了一种结合自编码器和线性递归动力学的新型神经网络架构来学习 Koopman 不变子空间。同时，还提出了在特征空间下过度规定的 EDMD 系统的均衡模型缩减方法和使用多核回归算法来提高低维状态下数据重构的精度，最后通过案例研究验证了这些技术的有效性。

Dec, 2017

基于数据驱动的自适应 Koopman 算子光谱分解的扩展动态模态分解与字典学习

本文利用机器学习中的思想，开发了一种迭代逼近算法，该算法将 EDMD 与可训练字典相结合，使得可以在不需要事先选择固定字典的情况下，适应于不同的问题并有效地进行重构，进一步增强了 Koopman 框架的适用性。

Jul, 2017