Apr, 2024

使用度量约束艾可纳尔方法计算流形上的距离和均值

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TL;DR在这篇论文中，我们介绍了度量约束 Eikonal 求解器，用于在流形上获取连续、可微的距离函数的表示。这些可微的表示的特性使得在流形上直接计算全局长度最小路径成为可能。我们展示了在不同流形上使用度量约束 Eikonal 求解器的应用，并展示了应用的实例。首先，我们展示了如何使用度量约束 Eikonal 求解器在流形上获取 Fréchet 均值，并利用高斯混合模型的定义和解析解来验证数值结果。其次，我们展示了如何利用得到的距离函数在流形上进行无监督聚类，而现有方法在计算上具有很高的复杂度。这项工作为流形上的距离计算开辟了新的可能性。
发现论文，激发创造
  • 流形增强的伊可纳方程：不同 iable 流形上的测地距离和流动

    机器学习模型发现的流形提供了底层数据的紧凑表示。这项工作提出了一种基于模型的距离场和流形上的测地线流的参数化方法，利用流形增强 Eikonal 方程的解。我们展示了流形的几何对距离场的影响，并利用测地线流直接获得全局长度最小曲线。这项工作为可微流形上的统计和降阶建模开辟了机会。

    Oct, 2023

  • 流线和测地线：光滑流形上的几何问题

    通过数值工具来获得保持汉密尔顿量的测地线，提出了一个基于模型的连续流形上的距离场和测地线流的参数化方法，以及基于曲率的训练机制，以对测地偏离程度较高的流形区域进行采样和缩放。

    May, 2023

  • 约束下的黎曼流形优化简单算法

    本文介绍了扩展现有算法，从欧几里得情况到黎曼情况的从等式和不等式约束中考虑代码优化问题，在高维下实现计算效率与准确度的提高，具有重要的实践应用。

    Jan, 2019

  • 黎曼流形上的优化技术

    本篇文章提出了新的方法，以解决施加在黎曼流形上的最优化问题，并将欧几里得空间上的一些优化技术推广到黎曼流形上。文章展示了几个算法，并分析了它们的收敛性质，其中包括可以被认为是黎曼流形上的牛顿方法和共轭梯度方法的两种算法，分别表现出二次和超线性收敛性。此外，还给出了一些在某些黎曼流形上的实例以及数字实验的结果。

    Jul, 2014

  • 通过 Fréchet Mean 进行微分

    本文介绍如何在任意的 Riemann 流形中微分 Fréchet 平均值，并提出了一种快速，准确且无超参数的求解器，将 Fréchet 平均值完全集成到双曲神经网络中，并展示了两个案例：一个是将 Fréchet 平均值用于 Hyperbolic Graph Convolutional Network，另一个是开发一种双曲批量归一化方法。

    Feb, 2020

  • 从数据学习流形快速可靠的最短路径

    我们提出了一种快速、简单、健壮的算法，用于计算从数据中学习的黎曼流形上的最短路径和距离。该算法利用常微分方程组（ODE）求解，通过固定点迭代方案来提高求解器的稳定性和降低计算成本。在黎曼度量学习和深度生成模型的实验中，我们证明了该算法相比于最先进的通用求解器和专用求解器在速度和稳定性方面的重大改进。

    Jan, 2019

  • 流形上蒙特卡罗方法：密度采样和函数积分

    针对欧几里得空间中相等和不等约束定义的流形，我们描述并分析了一些蒙特卡洛方法，其中提出了一个采用正交投影进行采样的 MCMC 采样器，来计算该流形上定义的非归一化概率分布。我们使用这个采样器来开发一个多阶段算法，并提供单次运行误差估计，以计算这种流形上的积分。计算实验表明算法和误差估计在实践中成立。该方法应用于计算不同粘性硬球体系的熵，从而预测硬粘球链环变得优于链时的温度或相互作用能量。

    Feb, 2017

  • 基于黎曼优化的距离几何逆运动学

    本文提出了基于距离几何的逆运动学求解器，并结合 Riemannian 优化算法，初值平滑技术等方法，实现了更高效的求解方法。

    Aug, 2021

  • 黎曼扩散模型

    本文介绍了一种新的图像生成和似然估计方法 —— 扩展连续时间扩散模型到任意黎曼流形，提出了一种似然估计变分框架，并在黎曼流形上证明其等价性，证明了这种新方法在各个评测标准上得到了新的最先进的表现。

    Aug, 2022

  • 学习黎曼度量

    本文提出了一个解决给定可微流形相关的黎曼度量的问题的解决方案。度量学习问题基于最小化给定点集的相对体积。我们推导了多项式单纯形上一个度量族的细节。该度量在文本分类中具有应用，并且与文本文档的 TFIDF 表示有些相似。

    Oct, 2012