Jun, 2024

基于边界积分方程的算子学习方法求解不同域中的偏微分方程

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TL;DR该论文探讨了可以推导出偏微分方程的操作学习模型，而无需重新训练。我们引入了两个创新模型，基于边界积分方程（BIE）：边界积分型深度操作网络（BI-DeepONet）和边界积分三角深度操作神经网络（BI-TDONet），它们被设计用于处理不同领域的偏微分方程。一旦完全训练，这些基于 BIE 的模型能够熟练地预测任何域中的偏微分方程的解，而无需额外的训练。BI-TDONet 通过利用有界线性算子的奇异值分解（SVD）来提高性能，从而实现了输入函数在模块间的高效分布。此外，为了解决效果不好的函数采样值无法有效捕捉振荡和脉冲信号特性的问题，BI-TDONet 将三角系数作为输入和输出。我们的数值实验证明了这个理论框架的有效性。
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发现论文，激发创造
  • 仅学习边界：一种物理信息神经运算器用于解决复杂几何形状中的参数化偏微分方程

    通过将偏微分方程转化为边界积分方程，我们提出了一种新颖的物理信息神经算子方法，可在没有标记数据的情况下解决参数化边界值问题，并且能够处理无界问题。

    Aug, 2023

  • 利用物理信息的深度神经网络学习参数偏微分方程的解算子

    本文提出了一种被称为物理学知识不同 DeepONets 的新模型类，通过使用自动差分在模型训练期间施加软惩罚约束来实现重力定律，其将 DeepONet 模型输出偏向于确保物理一致性，进而显著提高 DeepONets 的预测准确性，并大大减少了大型训练数据集的需求。

    Mar, 2021

  • 偏微分方程与深度神经网络的结合：综述

    本文对深度神经网络用于偏微分方程 (PDEs) 求解的现状和潜在应用进行了综述，分析和分类了相关方法在科学研究和工程场景中的应用，介绍了这一领域的来源、历史、特点、类型以及未来趋势。

    Oct, 2022

  • 使用物理感知神经网络解决反问题偏微分方程

    本文提出了一种新型的混合反向问题复合框架，将深度神经网络的高表现力与现有偏微分方程数值算法相结合，通过语义自编码器的自定义层，将计算数学、机器学习和模式识别技术融合在一起，实现了域特定知识和物理约束的综合应用，解决了大量数据中的未知字段这个问题，称之为混合反向 PDE 网络 (BiPDE 网络)，并在一维和二维空间中的泊松问题中，以及一维的时间依赖和非线性 Burgers 方程中，应用和证明了其可行性和噪声鲁棒性。

    Jan, 2020

  • 具有物理知识的 DeepONets 用于参数演化方程的长时间积分

    本文提出了一种用于无配对输入输出观测的深度神经网络参数化的无穷维算子的学习框架，以实现对于参数 ODE/PDE 系统的精确长时间模拟，该方法虽然比传统数值解算法计算成本低，但可靠性更高且能够全局评估。

    Jun, 2021

  • 物理信息边界积分网络（PIBI-Nets）：一种用于求解偏微分方程的数据驱动方法

    使用基于物理的深度神经网络的边界积分网络来解决少一个维度的偏微分方程问题，并在地下水流重建方面展示了出色的性能。

    Aug, 2023

  • 在复杂领域解决参数化偏微分方程的混合无核边界积分方法和算子学习

    在边界积分方程的框架下，基于深度学习的核自由边界积分法 (KFBI) 综合了 KFBI 方法的基本原理和深度学习的能力，通过将偏微分方程的参数、非齐次项和边界信息映射到边界密度函数，设计了一种网络近似解算符的方法。在使用 Cartesian 网格 KFBI 算法生成的数据进行训练后，该方法展示了强大的泛化能力，准确预测了同类方程中不同边界条件和参数的密度函数。实验证明，该训练模型可以直接推断边界密度函数，并且其预测精度令人满意，无需迭代解边界积分方程。此外，使用模型的推断结果作为迭代的初始值也是合理的，这种方法可以保持 KFBI 方法的内在二阶精度，同时通过减少约 50％的迭代步骤来加速传统的 KFBI 方法。

    Apr, 2024

  • DIMON: 在一组变形领域上学习偏微分方程的解算子

    通过 DIffeomorphic Mapping Operator learNing（DIMON）在多个领域上学习 PDE 解决方案，为工程和精准医学领域提供了快速 PDE 解决方案的预测和神经算子应用的可能性。

    Feb, 2024

  • 通过图神经网络和深度算子网络学习时变 PDE 以实现在不规则网格上的鲁棒性精度

    提出了 GraphDeepONet，一种基于 GNN 的自回归模型，能够适应 DeepONet 并有效地学习操作符，具有在不规则网格上预测解以及对时间依赖性 PDE 解进行时间外推的能力。对 GraphDeepONet 的普适逼近能力进行了理论分析。

    Feb, 2024

  • 通过 MIONet 学习在变动域上定义的偏微分方程的解算符

    提出了一种利用 MIONet 在具有不同域定义的偏微分方程上学习求解算子的方法，并在理论上对此方法进行了验证。通过将 MIONet 的逼近理论扩展到处理度量空间，构造了一组包含适当区域的集合，并在该集合上提供了一种满足 MIONet 逼近条件的度量，从而在处理包括微分算子、右手边项、边界条件和域参数在内的各种参数变化的 PDE 的求解映射方面取得了进展。实验证明该方法在处理凸多边形、具有光滑边界的极坐标区域以及不同离散程度的任务预测方面表现出色。明确地指出，这是一种无网格方法，因此可以作为一种一类 PDE 的通用求解器灵活使用。

    Feb, 2024