本文提出Finite Basis PINNs (FBPINNs)方法用于解决大规模微分方程问题。FBPINNs受到经典有限元方法的启发，使用神经网络学习有 紧支撑的有限基函数来表示微分方程的解，使其具有网格自由性和并行解决多尺度问题的能力。数值实验表明，FBPINNs既能够解决小模型问题，还能够高效准确地解决大规模复杂问题，比标准的PINNs方法具有更好的性能表现。

Jul, 2021

本研究使用图神经网络和频谱图卷积设计了两种不同的时间独立偏微分方程的解算符，并使用多种形状和不均匀性的有限元素求解器的模拟数据对网络进行训练，结果发现训练不同的数据集在所有情况下都是实现良好的技术并获得广泛应用的关键。

Jun, 2022

该研究通过对不同频率、组合和方程的简单正弦函数进行一系列数值实验，发现在标准化条件下，具有任意阶微分方程的物理知情神经网络确实存在明显的谱偏差，并随微分方程的阶数而增加。

Jan, 2023

我们提出了一种基于神经网络的元学习方法，用于高效解决偏微分方程（PDE）问题。该方法通过元学习来解决各种各样的PDE问题，并将这些知识用于解决新的PDE问题。我们使用神经网络将PDE问题编码成问题表示，其中，控制方程由偏导数的多项式函数的系数表示，边界条件由一组点条件对表示。我们将问题表示作为神经网络的输入来预测解决方案，通过神经网络的前向过程，我们能够高效地预测特定问题的解决方案，而无需更新模型参数。为了训练我们的模型，我们最小化在基于物理知识的神经网络框架中适应PDE问题时的预期误差，通过这种方式，即使解决方案未知，我们也能评估误差。我们证明了我们提出的方法在预测PDE问题的解决方案方面优于现有方法。

Oct, 2023

我们提出了神经谱方法，一种在经典谱方法基础上解决参数化偏微分方程的技术。我们的方法使用正交基来学习PDE解作为谱系数之间的映射，通过谱损失实现更高效的神经网络微分和显著降低训练复杂度，在多个不同问题上，我们的方法在速度和准确性方面显著优于之前的机器学习方法，与相同准确性的数值解算器相比，我们的方法表现出了10倍的性能提升。

Dec, 2023

神经网络方法在科学和工程领域中解决偏微分方程具有显著优势，尤其是在涉及复杂区域或纳入经验数据的情况下。本文引入截断熵的概念来表征训练性质，通过对随机特征模型和两层神经网络进行综合实验证明这一定义的截断熵可靠地量化随机特征模型的残差损失和神经网络在自动微分和有限差分方法下的训练速度，实验证明从训练角度看，自动微分能够在解决偏微分方程的问题上胜过有限差分法。

May, 2024

利用采样方法，从数据无关和数据相关的概率分布中提取隐含权重和偏置的神经网络，可以在训练时间和逼近精度方面取得重大突破，并且能够有效解决时变和静态的偏微分方程以及逆问题，带来了光谱收敛和无网格构建基函数等优势。

May, 2024

通过引入物理嵌入的傅里叶神经网络（PeFNN）解决复杂的时空动力学系统，PeFNN基于频域离散学习方法，通过采用唯一的多尺度动量守恒的傅里叶（MC-Fourier）层和逐元素乘法操作，实现动量守恒并得到可解释的非线性表达式，PeFNN在解决时空PDEs方面具有卓越的性能，并可在不同分辨率下进行扩展，此外，PeFNN在大规模洪水模拟等挑战性实际应用中表现出色。

Jul, 2024

本研究解决了当前物理信息神经网络（PINNs）在求解偏微分方程中的高阶导数计算需要大量计算资源的问题。提出了一种基于光谱的方法，通过用乘法代替微分算子，从而降低了内存需求和训练时间，同时提升了准确性。实验验证了该方法在科学计算中的有效性和优势。

Aug, 2024

本研究针对奇异摄动微分方程（SPDEs）在边界层快速变化导致的求解难题，提出了渐近物理信息神经网络（ASPINN）。该方法通过在边界层设置指数层，提高了对SPDEs的拟合能力，并有效减少了全连接层的数量，降低了训练成本。实验结果表明，ASPINN在边界层问题上表现出色，相较于以往方法在准确性和性能上都有明显提升。

Sep, 2024