Nov, 2014

测地指数核：当曲率与线性冲突时

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TL;DR本文探讨了一般测地度量空间中的内核方法，并提供了正面和负面的结果。结论是：高斯内核只能在测地度量空间中推广为正定内核，如果该空间是平坦的，这意味着任何在曲面上设计测地高斯内核的尝试都是徒劳的。然而，本文证明：对于具有有条件负定距离的空间，可以推广测地拉普拉斯内核并保持正定性。这意味着可以将测地拉普拉斯内核推广至一些曲面上。
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发现论文，激发创造
  • 具高斯 RBF 核函数的黎曼流形上的核方法

    发展了利用核方法处理测地线非欧几里得空间数据的方法，具体地，提出了基于高斯径向基函数的正定核定义，用于将给定流形嵌入到高维再生核希尔伯特空间，同时该方法具有适用于计算机视觉的两种流形的正定核，并说明欧几里得空间中的支持向量机和主成分分析等算法可应用于测地线非欧几里得空间的数据中。

    Nov, 2014

  • 对称 Riemannian 空间上的不变核：一种谐波分析方法

    该研究旨在证明在非欧几里德对称空间上定义的经典高斯核无论参数选择如何，都不可能是正定的。通过发展新的几何和分析论证方法，本文对高斯核的正定性进行了严格的刻画，其完整性只有在一些低维度的场景需要通过数值计算进行处理。最重要的结果之一是 Lp-Godement 定理（其中 p = 1,2），该定理提供了定义在非紧对称空间上的核是正定的充要条件。本文的新结果不仅与高斯核相关，还为对称空间上不变核的研究提供了蓝图，并提出了一些具体的谐分析工具，这些工具可能在未来有许多应用。

    Oct, 2023

  • 在紧致流形上优化径向核

    该研究论文探讨了在黎曼流形上针对所有可能的正定径向核进行分类优化的问题，并在支持向量机框架内展示了正定径向核的自动优化。

    Dec, 2014

  • Arc-Cosine 核的分析与扩展用于大边界分类

    本文研究了一种最近提出的伪造大型神经网络计算的正定核族。作者采用微分几何工具来研究这些核的性质，具体地，分析了这些核引起的希尔伯特空间表面的几何特征。当该几何被描述为一个黎曼流形时，作者针对其度量、曲率和体积元素导出了结论。值得注意的是，他们发现这个族中最简单的核不允许这样的解释，因此研究了两个用于类神经网络计算的修改的核。作者在多个数据集上实验了这些新的核，并强调了它们在分类中的普遍趋势。

    Dec, 2011

  • 基于可正分解核的几何学习

    核方法在机器学习中是强大的工具。对于非欧几里德数据空间，我们提出了使用再生核 Krein 空间（RKKS）方法，该方法仅需要具有正分解的核函数。我们研究了核函数正分解的条件，并表明不需要访问该分解就能在 RKKS 中进行学习。因此，RKKS 方法具有理论基础，为非欧几里德数据的核学习提供了可行途径。

    Oct, 2023

  • 对称正定矩阵黎曼流形上的核方法

    该文提出了一种针对 Riemann 流形的 SPD 矩阵进行高维映射的方法，使用一组可证明的正定核函数来扩展基于核方法的算法，进而在人行检测、物体分类、纹理分析、2D 运动分割以及扩散张量成像分割等问题上取得了良好的效果。

    Dec, 2014

  • 扩展 Grassmann 核家族：一个嵌入视角

    介绍了几个正定的 Grassmann 核，并证明这些核优于以前已知的核在各种任务中的表现，诸如分类，聚类，稀疏编码和哈希等。

    Jul, 2014

  • 深度生成模型的黎曼几何

    研究了深度生成模型所学习的流形的黎曼几何，并提出了计算测地线和沿流形路径平行传递切向量的算法，发现这些模型学习的流形近似于零曲率，并探讨了这种现象的实际影响。

    Nov, 2017

  • 欧几里得函数优化中的扭曲几何信息

    通过在具有截断度量的流形上进行优化，我们得到了函数的最优解，并通过构造适当的回缩映射将途经的递近测地线拉回到流形上，从而有效地沿着近似的测地线进行优化。

    Aug, 2023

  • 流线和测地线：光滑流形上的几何问题

    通过数值工具来获得保持汉密尔顿量的测地线，提出了一个基于模型的连续流形上的距离场和测地线流的参数化方法，以及基于曲率的训练机制，以对测地偏离程度较高的流形区域进行采样和缩放。

    May, 2023