我们提出了一种新颖的基于有限元的物理信息算子学习框架，用于预测由偏微分方程（PDEs）控制的时空动态。该框架利用了受有限元方法（FEM）和隐式欧拉时间积分方案启发的损失函数。通过考虑瞬态导热传导问题进行性能测试，该算子学习框架将当前时间步的温度场作为输入，预测下一个时间步的温度场。实施物理学约束的热传导方程 Galerkin 离散弱形式被用作损失函数，称为有限算子学习（FOL）。经过训练，网络成功预测了任意初始温度场的时间演化，与有限元方法解决方案相比具有较高的准确性。该框架也适用于具有异质热导率和任意几何形状的情况。FOL 的优势可以概括为：首先，训练是以无监督的方式进行的，避免了需要准备大量昂贵模拟或实验数据集的需求。相反，使用由高斯随机过程和傅里叶级数生成的随机温度模式结合恒温场作为训练数据，以覆盖可能的温度情况。其次，利用形状函数和向后差分逼近进行域的离散化，得到一个纯代数方程。这提高了训练效率，同时避免了在优化权重和偏差时耗时的自动微分过程，虽然可能会导致离散化误差。最后，由于有限元方法的插值能力，FOL 能处理任意几何形状，这对于解决各种工程应用场景至关重要。

May, 2024

介绍了 SciML 软件生态系统作为混合物理定律和科学模型的信息和数据驱动机器学习方法的工具，描述了一种数学对象 —— 通用微分方程（UDEs），作为连接生态系统的统一框架，并展示了这些工具的通用性。

Jan, 2020

通过结合神经算子、物理约束的机器学习和常规数值方法，我们提出了一种解决偏微分方程的方法，该方法在单一框架内扩展了前述方法并将其统一起来，使得我们能够以无数据的方式对参数化的偏微分方程进行求解，并提供准确的灵敏度，即解空间对设计空间的导数。这种能力使得我们能够进行基于梯度的优化，而无需进行典型的敏感性分析成本，从而避免了与响应函数数量直接成比例的伴随方法的规模问题。

Jul, 2024

本文介绍了新的深度符号学习方法 —— 有限表达式方法 (FEX)，以识别非线性动力学中包含一组有限析解表达式的函数空间中的主方程。 FEX 利用卷积学习 PDE 解的导数来生成主方程的解析表达式。 数字结果表明，在各种问题中，包括时间依赖的 PDE 问题和具有时间变化系数的非线性动力学系统中，FEX 在数值性能方面优于所有现有方法。 此外，结果突显了 FEX 在准确逼近符号主方程时的灵活性和表现力，同时仍保持较低的内存和有利的时间复杂度。

May, 2023

利用物理知识驱动的深度学习方法在异质固体中解决参数化偏微分方程，它的关键是建立复杂的热导率分布、温度分布和热流分量之间的联系，通过固定边界条件，在这项工作中，我们独立于有限元方法等经典求解器，并通过基于离散弱形式的损失函数定义方法给出出色的结果，该损失函数是一个代数方程，大大提高了训练效率。通过将我们的方法与标准有限元方法进行基准测试，我们展示了使用训练有素的神经网络在温度和通量剖面方面进行准确且更快的预测，我们还展示了在未知情况下，与纯数据驱动方法相比，所提出的方法具有更高的准确性。

Jan, 2024

此论文研究语义分析中的一个初步形式 ——ULFs，并基于手动注释的语料库来训练精确的 ULF 解析器。作者认为，将 ULFs 导出作为语义分析的起点将能够更准确地解析语言含义，进而构建更准确的语义解析器。

Mar, 2019

基于变分方法，提出一种新的培训神经网络算子和解决偏微分方程的统一框架，称为变分算子学习（VOL），VOL 可以以近乎无标签的方式有效地学习 PDE 的解算子，并利用最陡下降法和共轭梯度法进行更新。

Apr, 2023

本研究主要探讨了物理现象在时空中所描述的偏微分方程可转化为通用的拟线性、一阶形式，同时也阐述了此类微分方程系统的广泛特征，例如方程的双曲性、约束和其在初始值问题制定中的作用、微分同构自由的表现以及系统之间的相互作用等等，此外，也给出了一些物理系统方程的实例，阐明了同样的一阶、拟线性形式不仅具有数学上的简洁性，还具有更加明晰的物理内涵。

Feb, 1996

论文探讨了一维统一片段（U1）的性质，以及 U1 与适应更高元关系的描述逻辑（DLR_reg）的关系，并定义了一个描述逻辑版本的 U1 变体，并证明了与 U1 和其他相关逻辑的表现力有关的一系列新结果。

Apr, 2016

利用对比预训练框架和广义对比损失实现神经算子在多个方程上的泛化，提高了傅里叶神经算子在固定未来任务中的准确性和泛化能力，同时在一维热、Burgers' 和线性对流方程的自回归展开和超分辨率任务中表现出相当的性能。

Jan, 2024