Burgers 方程的 Koopman 分析
本文介绍了一种基于数据的方法，用于近似 Koopman 算子的主要特征，其不需要显式的控制方程或与 “黑匣子” 积分器的交互，并演示了该方法的可行性及其潜在应用示例。
Aug, 2014
Dynamic Mode Decomposition (DMD) 是一种流行的数据驱动分析技术，用于将复杂的非线性系统分解成一组模式，通过谱分析揭示底层的模式和动态特性。本综述全面而系统地研究了 DMD，强调了 Koopman 算子在将复杂非线性动力学转化为线性框架中的作用。我们将 DMD 方法的多元宇宙分类为三个主要领域：线性回归方法、Galerkin 逼近和保结构技术，并研究了每个类别在谱计算中的独特贡献和挑战。该综述通过实例和应用程序提供了 MATLAB 包，以加强对这些方法的实际理解。这项研究作为对各种 DMD 方法的实用指南和理论参考，既适用于专家也适用于新手，并使读者能够深入研究他们在广阔的 DMD 领域中感兴趣的领域。
Nov, 2023
本文研究了基于 Hankel 型数据矩阵的 Dynamic Mode Decomposition 算法在计算无限维 Koopman 算子的特征值和特征函数上的收敛性，证明了在刻画极限动力学系统的哈尔小波基函数上，DMD 算法的向量投影可用于近似函数投影并收敛于 Proper Orthogonal Decomposition。该方法被成功应用于计算流体力学以及其他的动力学系统，是一种可行的数值模拟方法。
Nov, 2016
我们将 Koopman 算子理论做出了新的泛化，它融合了输入和控制的影响，并将其应用于动态模式分解。我们对非线性动态系统进行了证明，展示了如何将其泛化到动态模式分解与控制，以及如何在可操纵系统中产生输入 - 输出模型。
Feb, 2016
我们引入 Rigged Dynamic Mode Decomposition (Rigged DMD) 算法，该算法计算 Koopman operators 的广义特征函数分解。通过考虑可观察量的演化，Koopman operators 将复杂的非线性动态转化为适合频谱分析的线性框架。Rigged DMD 通过从系统演化的快照数据中逼近 Koopman operator 的谱微分算子和广义特征函数，以数据驱动的方法应对传统 Dynamic Mode Decomposition (DMD) 技术在连续频谱上的挑战。算法核心是利用测度保持扩展的动态模态分解和高阶核函数进行平滑来构建广义 Koopman 特征函数和模式的波包近似。我们推导了广义特征函数和谱测度的显式高阶收敛定理。此外，我们提出了一种利用时延嵌入构建 rigged Hilbert spaces 的新框架，显著扩展了该算法的适用性。我们提供了示例，包括具有 Lebesgue 频谱、可积 Hamiltonian 系统、Lorenz 系统以及二维正方腔内的高雷诺数驱动流动，演示了 Rigged DMD 的收敛性、效率和多功能性。此工作为未来具有连续频谱的分解的研究和应用铺平了道路。
May, 2024
本文提出了子空间动态模式分解（subspace DMD）作为一种算法，用于带有观测噪声的随机动力系统的 Koopman 分析，并研究了其实证性能。
May, 2017
本论文引入了乘法动态模态分解（MultDMD），通过在其有限维近似中强制实现 Koopman 算子的乘法结构，从而更准确地反映 Koopman 算子的谱特性。我们详细阐述了 MultDMD 的理论框架，包括其公式化、优化策略和收敛性质。通过多个示例（包括非线性摆、Lorenz 系统和流体动力学数据），我们证明了 MultDMD 对噪声的出色鲁棒性。
May, 2024
本文介绍了一种理论框架，将 DMD 展开为一个逼近线性算子的特征分解，并扩展了 DMD 的应用范围，包括非连续时间序列。文中还提出了线性一致性的概念，帮助理解在低秩数据集上应用 DMD 的潜在缺陷，并且阐明了 DMD 与 Koopman 算子理论以及其他技术之间的联系。此外，作者通过实验证明了新的采样策略可以提高计算效率，并抑制噪声影响，进而证明在特定条件下 DMD 等价于线性反演建模（LIM）。
Nov, 2013
我们研究 Hermitian Dynamic Mode Decomposition（DMD）收敛到自伴随 Koopman 算子的谱特性，DMD 是一种数据驱动方法，用于从离散时间快照中近似表示与未知非线性动力系统相关的 Koopman 算子，同时保持算子在其有限维近似上的自伴性，我们证明在适当的条件下，HDMD 的特征值和特征函数收敛到底层 Koopman 算子的谱特性，并且通过数值实验在二维薛定谔方程上验证了我们的结果。
Jan, 2024
基于根据标准圆柱实验的有限数据获取描述，本文提出了一种基于 Koopman 算子的 Kernelized Extended DMD（KeDMD）变种，利用高斯随机矩阵的概念恢复主导 Koopman 模式。同时，本文还探讨了 Koopman 算子与基于标准化拉普拉斯测度生成的 RKHS 上的操作理论特征，以确定流体流动的 Koopman 模式。
Dec, 2023